线性卷积和圆周卷积的关系

11、线性卷积和圆周卷积的关系（参考书P122）dsp31：ppt91设)(1nx是1N点的有限长序列)10(1Nn，设)(2nx是2N点的有限长序列)10(2Nn，（A）)(1nx和)(2nx的线性卷积为1021211)()()()()(Nmmlmnxmxmnxmxny则线性卷积)(nyl的长度为121NN。（B）两个有限长序列)(1nx和)(2nx做L点的圆周卷积：首先将两个序列补零，扩成长度为L的序列：1,010),()(1111LnNNnnxnx1,010),()(2222LnNNnnxnx圆周卷积为：)(]))(()([)(1021nRmnxmxnyLLmL这里必须将一个序列变成L点周期延拓序列，这里采用)(2nx序列：rLrLnxnxnx)())(()(~222把它带入到)(ny中并考虑到前面的线性卷积公式，可得到：)(])()([)(]))(()([)(10211021nRmrLnxmxnRmnxmxnyLLmrLLmL)(])()([2101nRmrLnxmxLrLm)(])([nRrLnyLrl所以L点圆周卷积)(ny是线性卷积)(nyl以L为周期的周期延拓序列的主值序列。因为)(nyl有121NN个非零值，所以延拓周期L必须满足：121NNL。这时各延拓周期才不会交叠，而)(ny的前121NN个值正好是)(ny的全部非零序列值，也正是线性卷积)(nyl。)(ny剩下的)1(21NNL个值都是零值。所以，圆周卷积代表线性2卷积的条件：121NNL。2、离散傅里叶级数变换推导（参考书P102）dsp31：ppt251、DFS反变换的推导：连续周期信号的傅立叶级数为knkNjknTNTjkpppktjkekXekXnTxnxNTTNTTnTtTekXtx2020000)(~)(~)(~)(~/2/2,,,/2)()(~0则令其中频域的周期和采样间隔：0)//(2/22NNTTfpss)(~nTx时域周期、离散，周期为N，采样间隔T；)(~0kX频域周期、离散，周期为N，采样间隔0反变换推导初步结果：~,)(~)(~2nekXnxknkNj进一步化简。由于knNjnrNkNjee2)(2离散傅立叶级数只能取k=0~N-1的N个独立谐波分量。因此有~,)(~)(~102nekXnxNknkNj2、DFS正变换的推导：下式实际上是等比级数公式3rmmNrNeeerNjrNNjNnrnNj其他，为任意整数0,,1122102有)(~)(~)(~])(~[)(~1010)(21010)(2101022102rXNekXekXeekXenxNkNnnrkNjNnNknrkNjNnNkrnNjknNjNnrnNj因此102)(~1)(~NnknNjenxNkX3、为与其他变换的书写形式统一，常写成102)(~)(~NnknNjenxkX，~k102)(~1)(~NknkNjekXNnx，~n以上就是离散傅立叶级数（DFS）变换对引入符号：NjNeW2正变换：10)(~)](~[)(~NnnkNWnxnxDFSkX~k反变换：11)(~1)](~[)(~NknkNWkXNkXIDFSnx~n43、基-2按时间抽取FFT算法证明（书P144）dsp41：p10１、算法原理设LN2，基２－FFT。由定义10)()(NnnkNWnxkX，k=0,1,…,N-112,1,0,12,2Nrrnrn令把它按n的奇偶分成两个子序列：)()12()()2(21rxrxrxrx，12,...,2,1,0Nr)()()()()12()2()()()()(211202212021120)12(1202101010kXWkXWrxWWrxWrxWrxnWnxnWnxWnxkXkNNrrkNkNNrrkNNrkrNNrrkNNnnkNNnnkNNnnkN为奇数为偶数上式表明了一个Ｎ点的DFT被分解为两个Ｎ／２点的DFT。Ｘ(k)后一半点计算：)2()2()2(2)2(1kNXWkNXkNXkNN利用周期性：222222NNjNjNWeeW；)2(22kNrNrkNWW；512021120)2(211)()()2(NrrkNNrkNrNWrxWrxkNX所以有：11()()2NXkXk同理：22()()2NXkXk因为：kNkNNNkNN22由此：1212()()(),0,1,12()()(),0,1,122kNkNNXkXkWXkkNNXkXkWXkk【书p148，图4-4】基２按时间抽取8点(DIT)的FFT流图解：N＝8，做L＝3级蝶形运算，4、基-2按频率抽取FFT算法证明（书P156）dsp41：p41１、算法原理：设序列长度为LN2(L为正整数)，则有：610)()(NnnkNWnxkX，k=0,1,…,N-1把它按n的顺序分成前后两半：1202120)2(1201212010])2()([)2()()()()()(NnnkNkNNNnkNnNNnnkNNNnnkNNnnkNNnnkNWWNnxnxWNnxWnxWnxWnxWnxkX其中：k=0,1,…,N-1。上式表明了一个Ｎ点的DFT按K的奇偶分成前后两部分，都为Ｎ点的DFT。因为：kkNNNNWW)1(,122因此：120)]2()1()([)(NnnkNkWNnxnxkX12,1,0,12,2Nrrkrk令K的偶数点的DFT：1202/1202)]2()([)2()([)2(NnnrNNnnrNWNnxnxWNnxnxrXK的奇数点的DFT：71202/120)12(})]2()([{)2()([)12(NnnrNnNNnrnNWWNnxnxWNnxnxrX令：12()()(),()[()()]22nNNNxnxnxnxnxnxnW，12,...,1,0Nn则：1202/21202/1)()12()()2(NnnrNNnnrNWnxrXWnxrX，12,...,1,0Nr即按频率k的奇偶将一个N点DFT分解为两个N/2点DFT。【书p158，图4-17】基２按频率抽取8点(DIF)的FFT流图：N＝8，做L＝3级蝶形运算，