线性变换练习题

线性变换练习题一、（浙江大学2006）设矩阵322232223A，010101001P，1*2BPAPE，求B的特征值与特征向量.二、（东南大学2002）设线性变换在线性空间V的基123,,下矩阵为101210,1131、求值域V，核1(0)的基。2、问1(0)VV吗？为什么？三、（复旦大学1998）设矩阵21000abAc，cba,,为实数,231.求100A.四、（华东师大2007）设200201Aabc是复矩阵.1、求出A的一切可能的Jordan标准形；2、给出A可对角化的一个充要条件.五、（苏州大学2006）设5[]VxF是数域F上全体次数5的多项式及零多项式构成的线性空间，()fxV，定义映射(())()fxrx，其中2()(1)()()fxxqxrx，()rx=0或deg(())2rx.1、证明映射是V的一个线性变换；2、求在基234{1,,,,}xxxx下的矩阵。六、1、（清华大学2001）设方阵A满足2AA(幂等方阵)，则存在可逆方阵P使1000REPAP；2、（清华大学2001）设方阵A满足2AE(对合方阵)，则可取可逆方阵P使1PAP为何种最简形式？证明之；3、（清华大学2001）设方阵A满足20A（幂零方阵），则可取可逆方阵P使1PAP为何种最简形式？证明之。4、（苏州大学2006）设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使0kA，又A的秩为3，分别求A与2A的若当（Jordan)标准形。七、（浙江大学2000）证明：n阶幂零指数1n的矩阵都相似（若1200nnAA而，称A的幂零指数为1n）。八、（浙江大学2006）设3阶矩阵,,,ABCD具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似。九、（复旦大学2000）设A为一个n阶方阵且A的秩等于2A的秩，证明A的秩等于3A的秩。十、（苏州大学2006）（1）设V是有理数域上的线性空间，是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果325，则没有特征值。十一、（苏州大学2006）设n阶矩阵,AB，且ABBA。证明：若,AB都相似于对角矩阵，则AB也相似于对角矩阵。十二、（浙江大学2000）设n维线性空间V的线性变换有n个互异的特征值，线性变换与可交换的充要条件为是21,,,,n的线性组合，其中为恒等变换。十四、（华东师大1998）设()fx为数域F上多项式，且有12()()()fxfxfx，12((),())1fxfx，又设V为F上维线性空间，为的一个线性变换，W为()f的核，1W为1()f的核，2W为2()f的核，证明：12.十五、（华东师大2008）设,AB是两个特征值都是正数的n阶实矩阵，且22AB，则AB。十六（华东师大2011）设是数域F上有限维线性空间V的线性变换，W是V的不变子空间.(1)在V上定义一个二元关系:uvuvW,证明：是一个等价关系；(2)设/VWuuV是由（1）中的等价关系所确定的所有的等价类组成的集合，在此集合上定义加法和乘法运算如下：,,,uvuvkukukuVF证明：/VW按照这样定义的运算构成数域上F的线性空间（称为由确定的的商空间）.（3）证明：dim/dimdimVWVW；（4）定义/VW上的变换:,uuuV，证明：是商空间/VW上的线性变换；（5）证明：W，其中表示线性变换的特征多项式，而W表示在W上的限制变换.