线性方程组练习题

命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第1页共2页…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………《线性代数》第三章练习题一、思考题1、设有线性方程组bAX，其中A为n阶方阵，jA为A中第j列元素换为b所得行列式的值，判断下列命题是否正确？（1）若0A，则bAX有唯一解；（2）若0A，且至少有一)1(0njAj，则bAX无解；（3）若0A，且),,2,1(0njAj，则bAX有无穷多解。2、判断下列命题是否正确？其中A为nm矩阵。（1）非齐次线性方程组bAX，当nm时，有无穷多解；当nm时，有唯一解；当nm时，无解；（2）齐次线性方程组0AX，当nm时，必有非零解；（3）非齐次线性方程组bAX，当mAr)(时，必相容。3、设向量组4321,,,线性无关，判断向量组14433221,,,是否也线性无关。4、判断下列命题是否正确？（1）若向量组m,,,21线性相关，则存在全不为零的数mkkk,,,21，使得02211mmkkk；（2）若向量组m,,,21线性相关，且有02211mmkkk，则mkkk,,,21必不全为零；(3)若当数021mkkk时，02211mmkkk，则向量组m,,,21线性无关；（4）若02211mmkkk，必有021mkkk，则向量组m,,,21线性无关；（5）向量不能由m,,,21表示，则,,,,21m线性无关；（6）若向量组m,,,21线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合；（7）若向量组m,,,21线性无关，向量组s,,,21线性无关，则向量组m,,,21，s,,,21线性无关。二、单项选择题1.设321,,XXX是bAX的三个特解，则下列哪个也是bAX的解（）（A）332211XkXkXk；（B）332211XkXkXk，1321kkk；（C）321)(XXXk；（D）32211)(XkXXk。2．设321,,是0AX的一组基础解系，则下列哪组也是0AX的一基础解系（）（A）133221,,,；（B）312321,,；（C）13321,；（D）3121,,。3．设A是n阶矩阵，并且0A，则A的列向量中（）（A）必有一个向量为零向量；（B)必有两个向量的对应分量成比例；（C）必有一个向量是其余向量的线性组合；（D）任一向量是其余向量的线性组合。4．如果4),,,(21mr，则下列正确的是（）（A）如果m,,,21的一个部分组线性无关，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：第2页共2页…………………………………………………………装订线……………………………………………………班级：姓名：____________________学号：____________________…………………………………………………………密封线……………………………………………………（B）4321,,,是m,,,21的一个极大线性无关组；（C）m,,,21的一个部分组如果包含向量个数不超过4，则一定线性无关；（D）m,,,21的线性相关部分组一定含有多于4个的向量。5．设2211021,001kk，4433513,321kk其中4321,,,kkkk是任意实数，则有(A)321,,总线性相关；(B)4321,,,总线性相关；(C)321,,总线性无关；(D)4321,,,总线性无关。三、解答题1、求齐次线性方程组的一个基础解系075554043333020254321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2、设有线性方程组bxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx5432154325432154321334536223231，问ba,取何值时有解？当有解时，求其通解。3、判断向量组,)2,1,0,3,1(,)5,2,3,1,2(,)1,1,1,3,4(321TTTT)6,2,2,5,1(4的线性相关性4、设TTTTx)1,6,1(,)8,7,3(,)5,3,2(,),2,7(321，问x为何值时，可由321,,线性表示。5、求向量组TTTT)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T)6,5,1,2(5的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组表示出来。6、常数ba,取何值时，线性方程组21023034azybzyxzyx有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求通解。7、设A是34矩阵，且2)(Ar。已知321,,XXX是线性方程组bAX的三个解向量，其中TXX)1,2,1(21，TXX)2,1,0(32，求此方程组的通解。四、证明题1、已知向量组321,,线性无关，证明：向量组13322134,5,2也线性无关。2、设BA,分别是nrrm,阶矩阵，且0AB，求证：（1）B的列向量是齐次线性方程组0AX的解向量；（2）若rAr)(，则0B；（3）若0B，则A的各列向量线性相关。3、设向量组t,,,21是齐次线性方程组0AX的一个基础解系，向量不是方程组0AX的解，即0A，证明：向量组t,,,,21线性无关。