线性规划在生活中的应用

线性规划在生活中的应用于涛数学科摘要：本文主要是利用线形规划解决一个生产决策问题，并利用EXCEL软件对高维规划问题进行了求解。求解到令人满意的生产方案。一、问题的提出炼油厂将A、B、C三种原油加工成甲、乙、丙三种汽油。一桶原油加工成一桶汽油的费用为4元，每天至多能加工汽油14000桶。原油的买入价、买入量、辛烷值、硫含量，及汽油的卖出价、需求量、辛烷值、硫含量由下表给出。问如何安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大？一般来说，作广告可以增加销售。估计一天向一种汽油投入一元广告费，可使这种汽油的日销售量增加10桶。问如何安排生产和广告计划使利润最大。原油类别买入价（元/桶）买入量（桶/天）辛烷值（%）硫含量（%）A455000120.5B35500062.0C25500083.0汽油类别卖出价（元/桶）需求量（桶/天）辛烷值（%）硫含量（%）甲703000101.0乙60200082.0丙50100061.0二、问题的解决解：设置变量如下：甲乙丙Ax11x12x13Bx21x22x23Cx31x32x33表中Xij表示生产第i种原油生产第j种产品所需原油量。（一）、不做广告时的最佳生产方案1）列出约束条件（1）由A、B、C三种原油每天买入量最大为5000桶，所以有约束条件：500031jijxi=1、2、3（2）由甲、乙、丙三种产品每天的需求两分别为3000、2000、1000桶，则有约束条件：3000311iix2000312iix1000313iix（3）由生产加工能力有约束条件：140003131ijijx（4）由产品油的辛烷值的百分比含量的约束条件：0108612312111312111xxxxxx088612322212322212xxxxxx068612332313332313xxxxxx（5）由产品油的硫值的百分比含量的约束条件：1121311121310.5230xxxxxx1222321222320.52320xxxxxx1323331323330.5230xxxxxx（6）所有变量非负整数整数0ijx2）、根据条件建立目标函数：毛利：332313322212312111506070xxxxxxxxx买油费用：333231232221131211253545xxxxxxxxx加工费用：31314ijijx由此得到目标函数：max利润=毛利–买油费用–加工费用利用软件求解的到的解列表如下：（Book1）甲乙丙126000A240080080040005000原油B00005000买入C600120020020005000限制30003000产品20002000需求10001000限制600014000加工能力36000辛烷32000含量52000限制00硫00含量00限制由上表可以得到满足需求条件下的最优生产方案：买进A4000桶分别将2400桶、800桶、800桶用于生产甲、乙、丙；买进C2000桶分别将600桶、1200桶、200桶用于生产甲、乙、丙；不买进B。生产甲、乙、丙分别为3000桶、2000桶、1000桶。此时达到最大利润为126000元。（二）、做广告时的最佳生产方案此时增设三个变量：x1、x2、x3分别表示用于产品甲、乙、丙的广告费用。此时销售量分别增加10x1、10x2、10x3桶，对于该问题我们只需将上述问题的约束条件（2）更改为如下三个约束条件：1311103000xxii2312102000xxii3313101000xxii再增加最低需求量的约束条件：3000311iix2000312iix1000313iix将上述问题的目标函数中在增加广告费用就得到新的目标函数：广告费用：321xxx目标函数：max利润=毛利–买油费用–加工费用–广告费用利用软件求解的到的解列表如下：（Book2）甲乙丙287750A2000221278850005000原油B100039703050005000买入C0331818235005000限制广告费0750030003000产品95009500需求10001000限制1350014000加工能力5.38E-100辛烷9080含量50920限制-1.3E-100硫-5.3E-070含量00限制30003000产品95002000最低需求10001000限制由上表计算可以得到作广告时的生产方案：花750元对产品油乙做广告，不对甲和丙作广告。买进A5000桶分别将2000桶、2212桶、788桶用于生产甲、乙、丙；买进B5000桶分别将1000桶、3970桶、30桶用于生产甲、乙、丙；买进C3500桶分别将0桶、3318桶、182桶用于生产甲、乙、丙。甲、乙、丙的产量分别为3000桶、9500桶、1000桶。此时达到最大利润为287750元。三、总结通过对一个生产问题的求解，体现了数学在生活中起着重要的作用，要能够学以致用，发挥数学的强大作用。