线段垂直平分线的性质定理及其逆定理练习题

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理练习题1.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用角的等量代换是正确解答本题的关键．2.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B=∠BAD，结合∠CAD：∠DAB=2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．解答：解：在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD∵∠CAD：∠DAB=2：1∴4∠B=90°∴∠B=22.5°故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出4∠B=90°是正确解答本题的关键．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组B．2组C．3组D．4组考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件易得CD=BD，CE=BE，还可得到∠B=∠BCD，找各自的余角，于是得到∠A=∠ACD，得到AD=CD，可得AD=BD答案可得．解答：解：∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD∴AD=BD共4组．故选D．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．利用等角的余角相等是正确解答本题的关键．4.（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．5.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．110°考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件易得CD的连线垂直平分AB，然后利用三角形外角的知识可得答案．解答：解：∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．故选C点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和．由已知得到CD垂直平分AB是解答本题的关键．6.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．ABB．ACC．BCD．不能确定考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件BC=BD+AD及图形知BC=BD+CD知AD=CD，根据线段垂直平分线的性质可判断出答案．解答：解：∵BC=BD+AD=BD+CD∴AD=CD∴点D在AC的垂直平分线上．故选B．点评：此题主要考查线段垂直平分线的性质的逆定理：和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．得到AD=CD是正确解答本题的关键．7.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：线段垂直平分线的性质．分析：仔细阅读各已知条件，结合线段垂直平分线定理及逆定理对每一个小问题进行判断，其中④是错误的，过点E的直线有无数条，有且仅有一条垂直平分线段AB，所以原说法是错误的．解答：解：根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理，①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的；所以正确的是①②③三个．故选C．点评：此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．做题时要注意对每一个小题都要认真验证，不重不漏．8.已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据垂直平分线的性质转化为等腰三角形的问题，再进行两角大小的运算．解答：解：图1中，因为MN垂直平分AB所以MA=MB，NA=NB则∠MAO=∠MBO，∠NAO=∠NBO于是∠MAO+∠NAO=∠MBO+∠NBO即∠MAN=∠MBN．同理，图2中，∠MAO-∠NAO=∠MBO-∠NBO即∠MAN=∠MBN．点评：主要考查线段垂直平分线的性质和等边对等角，注意两种情况都要考虑是正确解答本题的关键．9.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB702401802180A，∵MN的垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠A=∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．10.如图，△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，则。考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质进行线段，得到线段相等，进行等量代换结合三角形的周长，可得答案．解答：解：∵边AB的垂直平分线交AC于E，∴BE=AE．∵△ABC和△BEC的周长分别是24和14，∴AB+BC+AC=24，BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14．∴AB=10．故答案为：10．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．11.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，连接CD，AD=CD，∠B=115°，且∠ACD：∠BCD=5：3，则∠ACB=度．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据垂直平分线的性质得出∠A=∠ACD，再根据三角形的内角和和角的比计算．解答：解：∵AD=CD∴∠A=∠ACD又∵∠ACD：∠BCD=5：3，∴∠ACD：∠ACB=5：8∴∠A：∠ACB=5：8又∵∠B=115°∴∠A+∠ACB=65°∴∠ACB=（65×8）÷13=40°．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和．12.如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=．考点：线段垂直平分线的性质．分析：利用垂直平分线的性质得出AF=BF，从而求出AC的长．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AF=BF∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．13.一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点：勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质．分析：根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．解答：解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA，同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角．故选C．点评：准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势．14.（2007•荔湾区一模）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于cm．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．解答：解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE，∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm，∴AE+CE=BE+CE=10cm．故填10．点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到AE+CE=BE+CE是正确解答本题的关键．15.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=．考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．分析：根据垂直平分线的性质可知BE=EC，DE⊥BC，即可得出△CED≌△BED，再根据角平分线的性质可知∠ABE=2∠DBE=2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出∠C的度数．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=EC，DE⊥BC，∴∠CED=∠BED，∴△CED≌△BED，∴∠C=∠DBE，∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE=2∠DBE=2∠C，∴∠C=30°．故答案为：30°．点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定及其性质的运用．