线性代数自测习题及答案

自测复习题21填空题（1）向量组1232,2,7,3,1,2,1,5,12aaa线性关。（2）4维向量组11,4,0,2a，25,11,3,0a，33,2,4,1a，42,9,5,0a，50,3,1,4a的秩是，且一个极大无关组为。的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4aaaaaa。mAAnm则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35，mn。（6）已知秩为3的向量组1234,,,aaaa可由向量组123,,线性表示，则向量组123,,必线性。（7）设20,,kk能由11,1,1ak，21,1,1ak，31,1,1ak唯一线性表出，则k满足。（8）设A为4阶方阵，且()2rA，则*0Ax的基础解系所含解向量的个数为。2选择题（1）设向量组()123,,aaa；1234(),,,aaaa；1235(),,,aaaa；()V12345,,,aaaaa，且()()3rr，()4,r则()rV=（）。(A)2(B)3(C)4(D)5（2）设向量可由向量组12,,....maaa线性表示，但不能由向量组121(),,....maaa线性表示，若向量组121(),,...,maaa，则ma（）。（A）既不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示（B）不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示（C）可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示（D）可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示（3）n维向量组12,,.....(3)saaasn线性无关的充要条件是（）。（A）存在不全为零的数0......,...,2211,21sssakakakkkk使（B）saaa,.....,21中任意两个向量均线形无关（C）saaa,.....,21中存在一个向量不能由其余向量线性表示（D）saaa,.....,21中任意一个向量都不能由其余向量线性表示（4）n维向量组saaa,.....,21线性无关的充分条件是（）。（A）saaa,.....,21中不含零向量（B）ns（C）saaa,.....,21中任意两个向量的分量不成比例（D）某向量可由saaa,.....,21线性表示，且表示式唯一(5)齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是系数矩阵A的（）。（A）行向量组线性无关（B）列向量组线性无关（C）行向量组线性相关（D）列向量组线性相关（6）齐次方程组0Ax有非零解的充要条件是（）（A）A的任意两个列向量线性相关（B）A的任意两个列向量线性无关（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任意一列向量都是其余列向量的线性组合（7）设A为n阶方阵，()3rAn，且123,,aaa是0Ax的三个线性无关的解向量，则0Ax的基础解系为（）。（A）122331,,aaaaaa（B）213213,,aaaaaa（C）21321312,,2aaaaaa（D）1233213,,2aaaaaaa（8）设向量组12,,....saaa的秩为r，则（）。（A）必定rs（B）向量组中任意小于r个向量的部分组无关（C）向量组中任意r个向量线性无关（D）向量组中任意r+1个向量必线性相关（9）设()12,,....saaa和()12,,......t为两个n维向量组，且()()rr=r，则（）。（A）向量组()与()等价（B）1212(,,....,,,...)straaar（C）()可由()线性表出时，()也可由()线性表出（D）当st时两向量等价（10）设1a12321233123,,,,,,,,aaaabbbaccc，则三条直线220(1,2,3,0)iiiiiaxbyciab其中交于一点的充要条件是（）（A）123,,aaa线性相关（B）123,,aaa线性无关（C）12312(,,)(,)raaaraa（D）123,,aaa线性相关，12,aa线性无关3计算证明题（1）设12341,0,0,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,2,2,,0,1,,1,aaaaaab问,ab取何值时，①能由1234,,,aaaa线性表出，且表达式唯一②不能由1234,,,aaaa线性表出③能由1234,,,aaaa线性表出，但表达式不唯一，写出一般式。（2）,ab为何值时，向量组1231,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1aaa与向量组1231,,1,2,1,1,2,0,1,2,1b，a等价。（4）设向量组12123,aa及，，满足111112222112223311322cacacacacaca判定123,,的线性相关性。（5）设2,,,.....,mnnmmABrr1且mn,又AB=r讨论向量组12,,.....mrrr的线性相关性。(8)①设向量组1234123512354(),,,;(),,,;(),,,,aaaaaaaaaaaaa若()3,()4,rr证明()4r。②已知向量组123,,aaa线性相关，向量组124,,aaa线性无关，证明向量3a可由向量12,aa唯一线性表出。自我检查题四答案及提示11（1）相；（2）4；1234,,,aaaa；（4）2；（5）3，；（6）无关；（7）0，-3；（8）4.2（1）C；（2）B；（3）D；（4）D；（5）B；（6）C；（7）A；（8）D；（9）C；（10）D.3（1）①1,abR；②1,1ab；③,1,1ba4433243143)221()1(xxxxxx,其中Rxx43,。（2）12ab。（4）由123(,,)2r可得123,,线性相关。（5）线性相关。