线性系统的时域分析法(第9讲)

77第9讲3.5线形定常系统的稳定性对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。①分析系统的稳定性问题。②提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。3.5.1稳定的基本概念和系统稳定的充要条件①基本概念控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。例如：三轴摇摆台的飞车问题是控制系统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号s/50走速率时，输出不跟踪指令，而是越走越快。陀螺会跟不上，力反馈拉不住。有关稳定性的定义和理论较多。⑴控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出的，它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。⑵设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有0)(limtgt(3-52)表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。78由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样，令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为)533()2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSZSKssG式中）用部分公式展开，得。式（5332nrqnrq2q+2r=ny用部分分式展开rknknkkknkknkkkqjjjSSCSBPSAsG1222121)()(对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为)543(0,]1sin1cos[)(2211teCteBeAtgknktkkqjrknktktpjnkknkkj由式(3-54)可见，若0)(limtgt即系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面，每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部，这就是系统稳定的充要条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。P52物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。不稳定稳定4.04st0理论实际图3-20系统稳定性示意图以上讨论了在零输入系统的稳定性问题，人们也许会提出这样一个问题：即一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破79坏？回答是否定的。下面以单位阶跃函数，即ssR1)(，则系统的输出为)2()()()()(22111nknkkrkjqjimiSSPSSSSKssG(3-47)显然，上式就是上节所述的式(3-47)，因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。由该式可见，等号右方第一项0A是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量的控制。完全受输入量)()(trtc第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结构和参数确定的。如果所研究的系统在零输入下是稳定的，即系统所有的特征根都具有负实部，则输出响应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减，经过充分长的时间后，系统的输出量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域，系统进入稳态运行。这表明了一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。综上所述，控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统是稳定的。反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根，则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为输出响应的主要成分，而稳态分量与之相比都变得无足轻重了。显然，这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根，其余的根均在S的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。3.5.2劳斯稳定判据3.5.2.1劳斯表线性系统稳定的充要条件是闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。令系统的闭环特征方程为)553(000122110aaSaSaSaSannnnn如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。证明、说明：设,,21pp为实数根，2211,jj为复数根80）改写为都是正值，则式（其中553,,,,,2121pp0})])()][()([())({(22221111210jSjSjSjSPSPSa)563(0})]2)][(2[())({(222222212112210SSSSPSPSa即因为上式等号左方所有因式的系数都为正（数）值，所以它们相乘后与各次项的系数必然仍为正值，且不会有系数为零的项。反之，若方程中如有一个根为正实根，或有一对实部为正的复数根，则由式(3-56)可知，对应方程式与各项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯)(RouthJE于1877年首先提出的。有关劳斯判据自身的数学论证，从略。本节主要介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用。设系统特征方程式如（3-55）所示，将各项系数，按下面的格式排成老斯表102113212321343212753116420fseesdddscccsbbbbsaaaasaaaasnnnn121211141713131512121311170613150412130211,,,,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab表中这样可求得n+1行系数81劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。例3-5已知一调速系统的特征方程式为0103.25175.41423SSS试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表401423103.25.380103.25.4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。例3-6已知某调速系统的特征方程式为0)1(16705175.4123KSSS求该系统稳定的K值范围。解：列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：0)1(16700)1(2.40517KK9.111K3.5.2.2劳斯判据特殊情况在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。82·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。例3-7已知系统的特征方程式为02223SSS试判别相应系统的稳定性。解：列劳斯表2)(022110123SSSS由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。·劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为0161620128223456ssssss列劳斯表16038166248000161220161221620810123456SSSSSSSssssF16122)(24由于3s这一行全为0，用上一行组成辅助多项式ssdssdF248)(383由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，0)4)(2(2)86(216122)(222424ssssssssF224,32,1jsjs求得两对大小相等、符号相反的根2,2jj，显然这个系统处于临界稳定状态。3.5.2.3劳斯判据的应用稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。设azass1，并代入原方程式中，得到以1s为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线as，右侧。由此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。1sa0例3-8用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线1S的右方。解：列劳斯表42.121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令1ZS代入特征方程：04)1(3)1(10)1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在1S的右方。列劳斯表8412114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线1S的右方。可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。例3-9已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答⑴1)(sGc时，闭环系统是否稳定？⑵ssKsGpc)1()(时，闭环系统的稳定条件是什么？)(sR)(sCsKt）（10)5(20sss—)(sGc图3-21单位