组合数学函授试题答案

1.一人每天至少看1h电视，总共看7周，但每周最多看11h．试证明存在连续若干天，在此期间他恰好看电视20h（假设看电视时间是整数个小时）.2.今有12只鸽子飞进5个笼子，则必有有一个笼子，该笼子里至少有几只鸽子？3.1）由两个英文字母后接四个数字来组成汽车牌照，问不同的牌照有多少种？2）如果两个英文字母必须不同，组成的牌照又有多少种？（1）262×104（2）P(26,2)×1044.10男生5女生围圆桌聚餐，任何两个女生不相邻的坐法有多少种？解男生先坐好，有9！种坐法。固定一种男生坐法，然后让女生插入10个空档，女生之间还存在排序问题，故有P(10,5)种排法所以，共有9!P(10,5)种坐法。5.n对夫妻围圆桌就坐，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式？解将n个丈夫记为，他们的妻子分别记为，设性质pi表示xi与yi相邻，其中i=1,2,…,n.令S为2n个人的全体环排列构成的集合，S的满足性质pi的子集Ai，i=1,2,…,n.那么有11211135mn212||(21)!||2(22)!,1,2,...,||2(23)!1......||2(1)!iijnnSnAninAAnijnAAAn由包含排斥原理得到6.证明7.求1到1000之间不能被5，6，或8整除的自然数的个数解：用{a1,a2,…,an}表示n个整数a1,a2,…,an的最小公倍数。设S={1,2,…,1000}，令A,B,C分别为1~1000中能被5,6,8除尽的整数集合。显然，其补集代表不具备被整除性质的集合。根据题意有根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为8.试确定多重集的组合数解：把S的r-组合分成两类：包含a1的r-组合：这种组合数等于{∞*a2,…,∞*ak}的(r−1)-组合数，即N1=C((k-1)+(r-1)-1,r-1)=C(k+r-3,r-1).不包含a1的r-组合：这种组合数等于{∞*a2,…,∞*ak}的r-组合数，即N2=C((k-1)+r-1,r)=C(k+r-2,r).由加法法则，所求的r−组合数N=N1+N2=C(k+r-3,r-1)+C(k+r-2,r).9.一糕点店生产8种糕点，若一盒内装有12块各种糕点，并且可认为每种糕点无限多，则你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？证明：将等式两边对x从0到1积分得即得证。011000111100010(1)(1)(1)1121111nnkknnkknknknnknxxknxdxxdxkxxnknknknk23(21)!2(22)!2(23)!2(24)!......(1)2(1)!123nnnnnnNnnnnnn1111211......122311nnnnnnn1000100010001000,200,166,1255681000100033,41,lcm{5,6}lcm{6,8}1000100025,8lcm{8,5}lcm{5,6,8}1000(200|S||A||B||C||AB||BC||CA||ABC||ABC|166125)(334125)8600123={1,,,,}kSaaaa这是一个组合问题，即的12-可重组合,所以10.确定T={3a,4b,5c}的10组合数。MathematicsModelingLianyungang。15256264134组合数4的组合数10的个6的至少有||组合，10的个6组合得到至少有4的加到个6将；21267275135组合数5的组合数10的个5的至少有||组合，10的个5组合得到至少有5的加到个5将；28278286136组合数6的组合数10的个4的至少有||组合，10的个4组合得到至少有6的加到个4将**3***2***1*TcTAcTcTbTAbTbTaTAaTa11.用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器A,B,C和D．规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同．如果B不允许用蓝色和红色，C不允许用蓝色和绿色，D不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案？解：由题意，可得棋盘如右图，其中有阴影的格子表示禁区。求得禁区多项式R()=1+6x+10x2+4x3，ABCDGLWY1238,,,,saaaa128119503881212N1031121211||661022S解法1（用容斥原理）令T*={a,b,c}，S为T*的10组合的集合，A1为至少有4个a的T*中10组合的集合，A2为至少有5个b的T*中10组合的集合，A3为至少有6个c的T*中10组合的集合。即r1=6，r2=10，r3=4，故所求方案数为4!-6×3!+10×2!-4×1!=412.解递推关系（）解：对应的特征方程为：特征根分别：,原递推关系的通解为：,把，代入解得：原递推关系的通解为：13.解递推关系解：因为特征方程为,得特征根为2,3,所以原递推式对应的齐次递推式：，有通解为：,设原递推式有特解,代入原递推式得C=1,D=2,因此原递推式有通解为,再将,代入通解得A=2,B=1,所以14.求的生成成函数．（）解：设1201564,9.nnnaaaaa，1223nnnacc12124239cccc122,3xx014,9aa323nnna1231cc2n2560xx12015623,5,10.2nnnaaanaan256xx1256nnnaaa23nnnaABnaCnD232nnnaABn015,10aa1232nnnan5nan0n0()nnnAtat000()(5)(1)4nnnnnnAtntntt212144(1)4(1)(1)tttt254(1)tt