自旋波理论

第五章自旋波理论§5.1自旋波物理图像§5.2自旋波的半经典理论§5.3自旋波的量子力学处理§5.4铁磁体在低温下的热力学性质§5.5H-P自旋波理论与自旋波相互作用§5.6反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波§5.7磁偶极作用下的自旋波色散谱§5.8体非均匀体系中的自旋波第三章自旋波理论自旋波作为固体中一种重要的元激发（如格波-晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而引起。自旋波理论从体3.1系整体激发的概念出发，很好的解释了自发磁化在低温下的行为。在低温下，体系能量处于较低的激发态，自旋波数较少，自旋波相互作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的，系统能量等于各个自旋波能量简单求和。在这种近似下，得到铁磁体自发磁化强度遵守T3/2定律，与实验符合很好。§5.1自旋波物理图像设：N个格点组成自旋体系，每个格点自旋S=1/2，只考虑最近邻格点之间的交换作用，并认为相邻自旋间的交换作用均相同（A0）体系Hamilton:当T=0K时，自旋体系呈现完全有序。总磁矩M0=NSgμB此时总能量最低，处于基态。T0K，体系中有一个自旋发生翻转（偏差），则由于相邻格点间的交换作用，一方面翻转了的自旋将牵动近邻格点自旋，使它们趋于翻转；另一方面，近邻格)1......(2)(ijjiexSSAH点的自旋又力图使翻转了的自旋重新翻转回来。从而导致自旋翻转（偏差）不会停留在一个格点上，而是要一个传一个，以波的形式传播，直至弥散整个晶体，这种自旋翻转（偏离）在晶体中的传播称为自旋波。与晶格振动的格波类似：a.同属晶体元激发b.所有格点都是等价的，每个格点自旋翻转概率相同（1/N）c.可以表述为波矢的方向表征了波传播的方向。其大小与波长λ有关，K=2π/λ)(exprktik其取值不是任意的，它取决于体系的边界条件，k可能的取值数目也不是任意的，它等于体系的总自由度。c.自旋波的能量动量（由于自旋波自旋只是原地翻转故又称准动量）e.描述波性质的关系仍是色散关系，即频率w和波矢的关系有关一维链自旋波的图形见书P252kk)(k§5.2自旋波的半经典理论自旋S在磁场H中的Hamilton为：如轴，即则无阻尼时自旋在磁场H作用下的运动方程为：考虑一简单的一维无穷链，每个格点有相同的自旋,相邻格点之间存在交换作用（A0），则第n个格点交换作用HSHHZH//),0,0(zHH旋磁比）:(ZZHSH)3......(HSdtdSSHamilton:112nnnSSAH)4]......([211nnnSSSA比较（2）、（4）两式相邻格点自旋的交换作用用等效场Heff替代（5）代入（3）：)5)......((211nneffSSAHeffnnHSdtdS)6)......((211nnnSSSAσnSZSnZxy即将围绕交换作用等效场进动令，进动中方向随时间而变化，不随时间变化。如振幅很小，即时，略去二次以上项得线性方程：如令则写成标量方程：nSeffHnznSSnzS∴)2()(211nnznznSSAdtdzS)7)......(2(211nnnznSAdtdyxi)8)......(2(211nnnznAStin可取所有整数值，其解应当具有形式)9......(~)(tnkainea为相邻格点的间距，(9)代入(8)中⇒一维铁磁链的自旋波色散关系简单)10)......(2(82kaSinASz如共有N个格点，则可以有N个k的取值，即可以有N个波长不同的自旋波存在。K的取值决定于边界条件，在周期性边界条件下Nannw-ΠΠ/8JSka2N21......210,2、、、、NpNapk当k→0（长波极限），则考虑德布罗意关系：222kaASz*222mk等效质量*m22*4/aASmz如a～10-10米，A～500K,Sz=1/2，则大约比电子质量大2个数量级。Kgm28*10§5.3自旋波的量子力学处理方法：用交换作用Hamilton量，求解薛定谔方程本征解，从而得出自旋波色散关系。设自旋增加算符S+=Sx+iSy，自旋减少算符S-=Sx-iSy体系交换作用Hamilton:)(2jijiSSAH)()(2jijzizjyiyjxixSSSSSSA)11......(])([2)(21jijzizjijiSSSSSSA如只考虑最近邻交换作用，则Z为最近邻数，N为体系中的格点数一、基态：设A0，自旋向上的本征态计为自旋向上的本征态计为则0K时所有自旋应平行排列，系统状态可表示为：ZNiij21)(共NZ/2项0110)12......(0|321N由于不存在翻转的自旋β，所以有)(0|20|ijjZiZSSAH0|41NZA所以|0是的本征态，其能量本征值为：二、局域在一个格点上的自旋翻转态设在第l格点上有一个自旋翻转，则体系状态为：H)13......(410NZAE)14......(.........|1121Nllll)(|ijjZiZlSSlZN|)4(81)()(||ijjiijjilSSlSSZZllS|210|21)15......(||)4(41|ZlAlNZAlH∴lZZNZ|41])21[(三.第一激发态的本征解为求Hamiltion量的本征解，可将态作付里叶展开：令（相应反变换）将（16）代入（15）则得即状态是Hamiltion的本征态。令则状态相应的能量本征值为l|16||1|kNlklkielNkllike|1|)17(|)41(|kAZANZAkHzikel|)18(1zikkerZ)1(01rEEkZAl|由此得到三个重要结论：1.能量本征态表征了体系一个确定的状态。在这个态中，每个格点自旋翻转的概率都相等（1/N），即自旋翻转不是局域在一个格点上，而是以相同的概率弥散在晶体的每一个格点上。2.在状态中，不同格点自旋翻转态相差一个相位因子，相邻格点相位差因子均为（a：相邻格点间距）。因此，态显示了波动的特征，它表征了波矢为K的一个自旋波。3.与基态相比，一个自旋波带系的能量增量为：P261l|l|eikal|它表征了波矢为k的自旋波能量的最小单位，一个自旋波相当于体系中总有一个自旋翻转。而上式表明：同为一个自旋翻转，由于自旋波波矢不同，则体系能量不同。因此，（19）式也反应了自旋波的色散关系,并且很显然。体系中允许两个以上自旋波具有相同的波矢k,因此，自旋波不服从费米统计。)19)........(1(01rEEEkkZA四.近独立近似下的自旋波总能量如果体系中存在许多相互独立的自旋波，则体系自旋波总能量等于所有自旋波能量简单的叠加。波矢为k的自旋波个数五.近饱和近似下自旋波的波色性自旋波不服从费米统计，也不符合波色（Bose)统计（因为N总是有限的，自旋能够翻转的总数n不能超过NS)当体系的温度远低于居里点时，体系中的自旋基本上是有序的这时可以近似地把自旋波看作波色子。EnkkkEnkNSnkn当铁磁物质在T0.5时，相对自发磁化强度即因此，当T0.5时，自旋波地波色性能够很好地满足。TC9.0~8.0)0(/)2(MMTcTCNkkn)1.0~05.0(§5.4铁磁体在低温下的热力学性质一.自发磁化强度的定律N个格点组成自旋体系，体积V，温度T时体系自旋翻转总数的统计平均值n，则自发磁化强度表示为或为计算作如下简化：a.格点数十分巨大（N~),因此k的取值可看作连续，从而求和变为积分。T32kknn)()(nNSVgTMB)20()0()()0()0()(NSMTMMMTMkknkkn1023b.温度不高时，高能态波几乎不能被激发。一维情况下，K的间距令则这个积分是发散的，同样二维情况下的积分也是发散的，因此，一维晶体和二维晶体均不可能具有铁磁性。在三维情况下：kkkenEk11L2xDk2dxLexDnxkk0212114)1(02314112)2(ekenkdxVEDkkkk02132214)1(exDxdxV对立方晶体，结果得：其中：f为结构子数。简单立方f=1体心立方f=2面心立方f=4代入（20）式：其中子数a与材料性质和结构有关。对于立方晶体：)23()8(23ASTknBfNkk)21(1)0()(23TnaNSMTMkk)22(0587.0)23(1)2()8(2323ASkASkBfsBfsa二.铁磁体在低温下的比热体系自旋波对内能的贡献为：对三维体系：(其中)其中低温下自旋波对定容比热的贡献：)23(1)(kkkkkMeEnEUETk02314)(2)2(ekUkkdkDVTDM0232521)1(4dxexDVDx2DKx)24()(25RTTUM)25()8(2323ASKfNKRBB23)8)(25(415)(ASTKfNKTTUBBMvc)25()2(113.023ASTKfNKBB低温下铁磁体的定容比热同样遵从定律。三.对长波近似的修正自学其中23T2725231)0()(cTbTaTMTM27'25'23'1tCtBtAASTKtB8)23(2'A)25(23'B)27(16332'C§5.5H-P自旋波理论与自旋波相互作用简介Holstein和Primakoff采用粒子数表象，用二次量子化方法处理了自旋波理论，可以方便地讨论自旋波之间的相互作用和自选波与其它（准）粒子的相互散射。其基本要点是：考虑N个格点的自旋体系，每个格点自旋为S，引入自旋偏差算符以及自旋偏差产生算符和湮灭算符a,在此基础上，写出存在外加磁场H时在自旋偏差算符表象中的Hamilton量：同样，在自选波算符表象中的Hamilton量：kSSnaaaaamlmllllBASHgZASEH)(04)2(:自旋波粒子数算符）其中：(是波矢为K的自旋波产生算符是波矢为K的自旋波湮灭算符)随着温度的升高，自选波数目增加，由于相互碰撞而使散射的机会增多，因而必须记入自选波的相互作用。计算时应多考虑几项。写出这种情况下的Hamilton量，利用付里叶变换，得到kkkkkkkBaaraaZASHgZASEH4)2(0kkknEE0aankkk(HgZASEBkk)1(2HSNgNZASEB20akak)26('0HHHH其中为一级散射哈密顿量,表征了这样得散射：波矢分别为k和的一对自旋波经过碰撞而交换能量和动量，变为波矢分别为和的一对自旋波。00EaaAHkkkkHgrZASABkk)1(2kkKkKkKkkkKkKkkKkkaaaarrSrrrNAZH'''''')](161)2[(2''''''