3.1.3空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算一、引入1.共线向量定理：(0)abbabab,，空间中任意两个向量共线()的充要条件是存在实数使得2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：aOPOAtaPl点在直线上tAPtABAPAB，（1）存在实数，使得即tOPOAtAB（2）存在实数，使得,(1)xyOPxOAyOBxy另：存在实数，，使得3.共面向量定理：).abppxayabxby如果两个向量、不共线,那么向量与、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(，，使得(,)xyAPxAByAC（1）存在有序实数对，使得OOPOAxAByAC（2）对空间中任意一点，有4.P、A、B、C四点共面充要条件：(1)OOPxOAyOBzOCxyz另：对空间中任意一点，有一、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]abB类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?B1如图11AB是b在a方向上的射影向量.AA1一、空间向量数量积的定义已知空间两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即,abcos,abababcos,ababab0,ab注意:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,ab不一定为锐角不一定为钝角三、空间两个向量的数量积的性质(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是用来求两个向量的夹角．(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据．空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；cos,ababab0;abab2aaa2aa，也就是说(,)ab是非零向量四、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?注意：数量积不满足结合律即)()abcabc（另外¿abacbc及000¿abab或已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：(1);(2);(3);(4).ABACADBDGFACEFBC练习1ABCDEFG在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习2练习3ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'解：ACABADAA||85AC22||()ACABADAA222||||||2()ABADAAABADABAAADAA2224352(0107.5)85已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习4练习5如图，在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（）A.B.C.D.111ABCABC1AB1CB12ABBB06009001050756.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解：∵CDBDBC，∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD易错写成,30ABBD，注意推敲！例1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！适当取向量尝试看看！a三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.证明：如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA()0aPAaPOOAaPOaOA,aPAl即PA.为POAla0,0aPOaOA三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lPA，求证：lOA分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmngmgml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理.lmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)xy例2:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.lll小结：通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、证明线面垂直;4、求两直线所成角的余弦值等等.