3.1.3空间向量的数量积运算课件

SFW=|F||s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾1)两个向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤.,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向.⑵,,abba＝，⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab知新类似地，可以定义空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！2）两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已知空间两个非零向量、ab,则cos,abab叫做、ab的数量积,记作ab.即cos,ababab.abA1B1BA类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?如图11AB是b在a方向上的射影向量.abA1B1BAab的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.baaabacosb显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.3)空间两个向量的数量积性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据.4)空间向量的数量积满足的运算律⑴()()abab⑵abba(交换律)⑶()abcabac(分配律)注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。如果不能，请举出反例能得到吗？由,对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量,,abcbacacb.不能，例如向量与向量都垂直时，有而未必有acb,,caba.cb不能，向量没有除法.对于三个均不为0的数若则对于向量若能否写成也就是说向量有除法吗？,,,cba,cab).(acbbca或,,bakba?)(akbbka或不成立，左边是一个与向量c共线的向量，右边是一个与向量a共线的向量，而向量c与a连是否共线都是一个未知数.对于三个均不为0的数对于向量成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？,,,cba).()(bcacab若,,,cba)()(cbacba222222)()()()3)()()4)()abcabcpqpqpqpqpq1.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.2.判断真假:1)若0,ab则0,0ab()1353.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线,则：①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b||ab|③(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④DADFCBE1(2)(3)(4)图间边条边对线长点别点计（）3.如：已知空四形的每和角都等于1，、分是、的中。算：ABCDEFABADEFBAEFBDEFDCEFAC4.D'C'B'DABCA'解：ACABADAA22222222||()||||||2()4352(0107.5)85.ACABADAAABADAAABADABAAADAA||85.ACABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACP92.25.已知线段、在平面内，，线段如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabcP92.3法一:发现22222()ababab代入求得.5.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.1法二:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1法三:数形结合法,发现形的特殊性.例1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F分别是AB，OC的中点，试求所成角的余弦值.BFOE,OABCEF例2.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解：∵CDBDBC，∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD易错写成,30ABBD，注意推敲！例2在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！适当取向量尝试看看！a证明：如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA()0.aPAaPOOAaPOaOA,aPAlPA即.为POAla0,0,aPOaOA三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.POAla已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lPA，求证：lOA分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmngmgml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理,有了!lmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..证:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)xyOACB()||||cos||||cos||||cos证明：因为OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOB||||cos0OAOBOABCOABCOBOCAOBAOCOABC7、已知空间四边形，，，求证：6、NMABDC证明：因为MNMAADDN22()111()2220ABMNABMAADDNABMAABABABDNaaABBCBDMNAB同理，MNCDABCDaMNABCDMNABMNCD8、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点、分别是边、的中点。求证：，。7、复习：空间两个非零向量ab、的数量积ab:cos,ababab①22||aa即2||aa(求线段的长度);②ab0ab(垂直的判断);③cos,ababab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.也有下列三个重要性质：abab,ab