经典初中数学三角形专题训练及例题解析

专题训练系列之三角形第1页经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类.钝角三角形直角三角形锐角三角形)(等边三角形等腰三角形不等边三角形3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。③多边形的对角线的条数:A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。B.n边形共有2)3(nn条对角线。9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。②多边形的外角和等于360°。三角形(按角分)三角形(按边分)专题训练系列之三角形第2页10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：专题训练系列之三角形第3页位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。考点四、直角三角形1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°BDADCD2ABADAC2CD⊥ABABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC经典例题解析：例1.如图，BP平分∠FBC，CP平分∠ECB，∠A=40°求∠BPC的度数。分析：可以利用三角形外角的性质及三角形的内角和求解。解：∵∠1=)4(21A)3(212A∵)21(180BPC40A∴111804)322BPCAA704018021180例2.如图，求∠A+∠C+∠3+∠F的度数。分析：由已知∠B=30°，∠G=80°，专题训练系列之三角形第4页∠BDF=130°，利用四边形内角和，求出∠3的度数，再计算要求的值。解：∵四边形内角和为（4-2）×180°=360°∴∠3=360°-30°-80°-130°=120°又∵∠A∠C∠F是三角形的内角∴∠A+∠C+∠F+∠3=180°+120°=300°例3．已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的41，求这个多边形的边数。分析：每一个外角的度数都是其相邻内角度数的41，而每个外角与其相邻的内角的度数之和为180°。解：设此多边形的外角为x，则内角的度数为4x418036360103610xxxn则解得边数即这个多边形的边数为例4.用正三角形、正方形和正六边形能否进行镶嵌？分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点处各个内角和为360°解：正三角形的内角为60正方形的内角为90正六边形的内角为120∴可以镶嵌。一个顶点处有1个正三角形、2个正方形和1个正六边形。例5.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD=45°，故答案为∠CHD=45°．点评：考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．例6．如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠=∠=1/2∠；（2）因为AM是△ABC的中线，所以==；（3）因为AH是△ABC的高，所以∠=∠=90°．分析：（1）根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；（2）根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；（3）根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直．专题训练系列之三角形第5页解答：解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC；（2）∵AM是△ABC的中线，∴BM=CM=1/2BC；（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°；故答案是：（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．例8．如图，AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，且PB=3cm，AC=8cm，则△APC的面积是cm2．解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=3cm，∴点P到AC的距离等于3，∵AC=8cm，∴△APC的面积=8×3÷2=12cm2．例9.已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。解：∵BC＝BA，∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。∴DC＝22222313PDPC．∴PA＝DC＝13。例10.两个全等的含30º，60º角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断△EMC是什么样的三角形，并说明理由。分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM＝MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD＝MB＝MA。连结MA后，可以证明△MDE≌△MAC。答：△EMC是等腰直角三角形。证明：连接AM，由题意得，DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC＝90º。∴∠DAB＝90º。∴△DAB为等腰直角三角形。又∵MD＝MB，∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠MAB＝45º。CEADMB┌┐专题训练系列之三角形第6页∴∠MDE＝∠MAC＝105º，∠DMA＝90º。∴△MDE≌△MAC。∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。又∠DME＋∠EMA＝90º，∴∠AMC＋∠EMA＝90º。∴MC⊥EM。∴△EMC是等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。例11.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．提示：作CF⊥AB于F，则∠ACF＝45°，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AD，于是，由∠ACG＝∠B＝45°，AB＝AC，且易证∠1＝∠2，由此得△AGC≌△CEB（ASA）．再由CD＝DB，CG＝BE，∠GCD＝∠B，又可得△CGD≌△BED（SAS），则可证∠CDA＝∠EDB．例12.如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．∠A＝60°．求∠ECF、∠FEC的度数．略解：因为∠A＝60°，所以∠2＋∠3＝21（180°－60°）＝60°；又因为B、C、D是直线，所以∠4＋∠5＝90°；于是∠FEC＝∠2＋∠3＝60°，∠FCE＝∠4＋∠5＝90°，∠FEC＝60°．例13.在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．12ABFCDEABCDFGE123456ABCDEFGH专题训练系列之三角形第7页略解：作EH⊥BC于H，由于E是角平分线上的点，可证AE＝EH；且又由∠AEC＝∠B＋∠ECB＝∠CAD＋∠ECA＝∠AFE可证AE＝AF，于是由AF＝EH，∠AFG＝∠EHB＝90°，∠B＝∠AGF．可得△AFG≌△EHB；所以AG＝EB，即AE＋EG＝BG＋GE，所以AE＝BG．反馈练习1.如图，AD是△ABC的中线，如果△ABC的面积是18cm2，则△ADC的面积是cm2．2.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，则BE=．3．（2009•宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）则A