经济数学基础讲义第3章导数应用

1第3章导数应用3.1函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1．导数在研究函数时的应用2．导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？生产场景及生产曲线在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高．在下两节中就是要讨论这个问题．单调性判别下面首先讨论3.1函数的单调性．什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．先考察y=x2，它的图形是抛物线．在x0处，函数单调上升；在x0处，函数单调下降．当在x0这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于902当在x0这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定大于900200202xyxxyxxy时，当时，当定理设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.(1)如果x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调增加；(2)如果x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间[a,b]换成其它区间，如(a,b)，(-,b]，(a,+)．使定理结论成立的区间，称为y=f(x)的单调区间．定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导．(1)如果x(a,b)时，f(x)()0，则f(x)在[a,b]上单调增加(不减)；(2)如果x(a,b)时，f(x)()0，则f(x)在[a,b]上单调减少(不增)．“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．修改后的定理3.1如下：定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.(1)如果x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调不减；(2)如果x(a,b)时，f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调不增．由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．3结论：若0)(xf，],[bax，则cxf)(．证：0)(xf)(xf既单调不增又单调不减cxf)(例1判别y=x3+1的单调性．[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．解：定义域为(-,+)y(x)=3x20，x(-,+)，且x0y在(-,+)上单调增加．从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例2求y=2x3-9x2+12x-6的单调区间.[分析]首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解：定义域为(-,+),y=6x2-18x+12；x2-3x+2=0(x–1)(x–2)=0；x1=1,x2=2单调增加区间为(-,1]，[2，+)；单调减少区间为[1，2]．4在右图形中x1=1,x2=2是分界点，在区间(-,1]内，函数是单调增加的；而在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+)内，函数是单调增加的．例3求xxy1的单调区间.解：定义域为(-,-1)，(-1，+),22)1(1)1()1(xxxxy单调增加区间为(-,-1)，(-1，+)从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤：①确定)(xf的定义域；②求f(x)=0和f(x)不存在的点，并组成若干子区间；③确定f(x)在每个子区间内的符号，求出f(x)的单调区间．例4当x0时，试证ln(1+x)x-21x2.[分析]先建立一个函数F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F(x)的单调增加性，得到要证明的结论．证：F(x)=ln(1+x)–(x-21x2)01)1(11)(2xxxxxFF(x)单调增加．又F(0)=0，故当x0时，F(x)0；即ln(1+x)x-21x2．3.2函数极值3.2.1函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：5定义3.1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x(xx0)，恒有f(x))(f(x0)，则称f(x0)为函数)(xf的极大(小)值，称x0为函数)(xf的极大(小)值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．大家看下面这个图形：在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点x1，…，x5和两个端点哪些点是极大值点呢？可以看到x1是极大值点，x4也是极大值点．端点b是不是极大值点呢？极大值点是指它的函数值要比周围的值都大，而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点．极大值点：x1,x4；极小值点：x2,x5再找一找哪些是极小值点？x2是一个极小值点，x5也是一个极小值点．下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法．分析函数在极值点处具有什么特征．x1是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一条水平线；x5是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也是一条水平线．由此可6得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点，那么它的切线一定是水平的，即它的导数为0．定理3.2如果点x0是函数f(x)的极值点，且f(x0)存在，则f(x0)=0使f(x0)=0的点，称为函数f(x)的驻点．定理3.2表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻点．这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到．说明：若f(x0)不存在，则x0不是f(x)的驻点．定理3.2是极值存在的必要条件．根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并不一定是极值点．例如：函数y=x3在x0=0处，f(x0)=0，由图可知，x0=0不是极值点．因此，请大家想一想：极值存在的充分条件是什么？回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析．从这个图形中很容易的看出，函数f(x)在点x0处达到极大，x0是极大值点．当然，函数在这一点处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满足极值的必要条件f(x0)=0．特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值大于0；右边曲线是下降的，即斜率小于0．由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的．从图形上显然看出x0也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点是不可导点．7特征：在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点x0是极大值点，则它左边的导数大于0，右边的导数小于0．由这两个图可知，若x0是函数f(x)的驻点或不可导点，且在点x0的左、右两边的导数由正变负，则x0是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充分条件的一部分．再看极小值点．从图中很容易发现x0是极小值点．由于x0是f(x)的可导点，所以满足极值的必要条件f(x0)=0．若x0是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于0，即导数值大于0；而在左边，它的斜率小于0，即导数值小于0．所以，一个驻点是极小值点时，它的左、右两边的导数符号也是不一样的．x0是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下，x0右边的导数大于0，x0左边的导数小于0．归纳：只要x0满足极小值点的必要条件，那么在x0左右两边函数可导的条件下，左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的．在这种情况下，x0不是极值点．在x0左右两边函数可导的条件下，两边的切线方向是一致的．也就是说，尽管x0满足了极值点的必要条件f(x0)=0，但在x0的左右两边，导数不变号，因此可以肯定x0不是极值点x0也不是函数的极值点，且在x0左右两边，导数的符号是一样的．8由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件．定理3.3设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点x0的左邻域内f(x)()0，在点x0的右邻域内f(x)()0，那么x0是f(x)的极大(小)值点，且f(x0)是f(x)的极大(小)值．如果在点x0的邻域内，f(x)不变号，那么x0不是f(x)的极值点．例1设函数y=ex-x+1，求驻点．[分析]驻点就是使导数等于0的点．解：y=ex-1，由y=ex–1=0，得x=0注意：这里求出的x=0不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻点．可导函数f(x0)=0是点x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．例2设y=x–ln(1+x)，求极值点．[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解：定义域),1(,0111xy，解得x=0(驻点)在x=0的左右两边，y的符号由负变正，故x=0是极小值点．例3设y=3223x-x+7，求极值点．[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点．解：定义域),(；131xy,x=0处导数不存在，x=1是驻点.在x=0的左右两边，y的符号由负变正，故x=0是极小值点；在x=1的左右两边，y的符号由正变负，故x=1是极大值点．例4设4343xxy，求极值．9[分析]首先求定义域，然后利用必要条件求驻点和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点，最后写出极值．解：定义域),(在x=0的左右两边y同号，故x=0不是极值点；在x=1的左右两边，y的符号由正变负，故x=1是极大值点．求函数极值的步骤：确定函数f(x)的定义域，并求其导数f(x)；解方程f(x)=0，求出f(x)在定义域内的所有的驻点；找出)(xf所有在定义域内连续但导数不存在的点；讨论f(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化情况，确定函数f(x)的极值点；写出函数f(x)的极值点和极值．3.2.2最大值、最小值及其求法极值与最值的区别：极值是在其左右小范围内比较最值是在指定的范围内比较所以，说到最大（小）值，要使问题提得明确，就必须明确指定考虑的范围．如果在指定的范围内函数值达到最大，它就是最大值．这个函数在区间[a，b]内的极大值点是x1，x4；极小值点是x2，x5．现在要问这个函数在闭区间[a，b]上最大值点是哪一个，那么应该是整个指定区间上曲线最高处的点就是最大值点．从图中可以看出，端点b处的函数值最大，所以点b就是该函数在区间[a，b]上的最大值点．同样，从图中可以看出x2是区间[a，b]上最小值点．若将b点往左移至5x，从图中可以看出，最大值点是x4，而最小值点仍然是x2．10若将区间改为],[42xx，则最大值点仍然是x4，最小值点仍然是x2．明确了最值点与极值点的区别后，最值点的求法也就较容易得到了．函数f(x)在[a，b]上的最值点一定在端点、驻点和不可导点中．端点：a，b驻点：使f(x)=0的点不可导点：f(x)不存在的点求函数最值的步骤：①求导数f(x)；②解f(x)=0，求出f(x)的驻点