经济数学基础讲义第5章定积分

1第2章定积分2.1定积分的概念和性质例计算定积分10dxx．2分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间]1,0[等分．解：将区间]1,0[n等分，每个小区间的长度为n1，取i为每个小区间的右端点，得积分和ninni11，计算积分和得niniinnni121112)1(12nnn（等差数列求和公式．）n2121由此得21)2121(lim1lim1nnninnin由定积分的定义可知21d10xx2.1.3牛顿—莱布尼兹公式：若)(xF是)(xf的一个原函数，则babaxFaFbFxxf)()()(d)(简记为对于N-L公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即:若)(xF,)(xG均为)(xf的原函数，则bababaxGxFxxf)()(d)(②在公式)()(d)(aFbFxxfba中如果把b换成x，就得到)()(d)(aFxFxxfxa例1计算102dxx．解：因为2)(xxf，它的一个原函数为331)(xxF，得3131d103102xxx若将原函数换为231)(3xxF，同样得31)231(d103102xxx例2计算21dexx．解：因为xxfe)(，它的一个原函数为xxFe)(，得122121eeedexxx例3计算112dexx．解：cxxx2112e21de，112112e21dexxx)e(e2122例4计算2032d1xxx．3解：cxxxx23332)1(92d1，202332032)1(92d1xxxx952例5计算21dexxx．解：cxxxxxe)1(de，2121e)1(dexxxxx2e例6计算e1dlnxx．解：cxxxx)1(lndln，e1e1)1(lndlnxxxx12.1.4定积分的性质先回顾不定积分的性质性质1.xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.xxfkxxkfd)(d)(定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质．定积分的性质：性质1.bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.babaxxfkxxkfd)(d)(性质3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证：设)(xF是)(xf的一个原函数，由N-L公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc)]()([)]()([d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c可以在区间],[ba内，也可以在区间],[ba外．性质3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证：设)(xF是)(xf的一个原函数，由N-L公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc4)]()([)]()([d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c可以在区间],[ba内，也可以在区间],[ba外．例1计算02d)cos2(xxx．解：00202dcos2dd)cos2(xxxxxxx002dcos2dxxxx003sin231xx331例2求20d1xx．解：1,11,11xxxxx211020d1d1d1xxxxxx2110d)1(d)1(xxxx2121022)1(2)1(xx121212.2.1换元积分法定积分换元积分法若babaxxuxufxxfd)())((d)(1，且当ax时，u；当bx时，u．则uufxxfbad)(d)(1例1计算21d131xx．解：21d131xx21d)13(13131xxx21)13(d13131xx52d13113uuux52ln31u)2ln5(ln31例2计算1032d34xxx．解：令ux334，xxud9d21032d34xxx14)d91(uu14d91uu271432911423u5例3计算)0(d022axxaa．分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．解：令taxsin，ttaxdcosd，且当0x时，0t；当ax时，2t．得axxa022d20222dcossinttataa2022dcostta202d)2cos1(2tta（三角公式22cos1cos2）4)2sin21(22202atta2.2.2分部积分法不定积分分部积分公式：xuvuvxvudduvuvvudd定积分有类似的分部积分公式bababaxvuuvxvudd或bababauvuvvudd例1计算21dexxx．解：2121d)e(dexxxxxx21211deexxxx2212eeee2x例2计算e1dlnxx．解：e1e1d)(lndlnxxxxxe1e1d1lnxxxxx1)1e(0e例3计算20d2sin3xxx．解：2020d)2cos21(3d2sin3xxxxxx2020d2cos232cos23xxx202sin4343x432.3广义积分定积分是在有限区间],[ba上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分（或称无穷积分）：ababxxfxxfd)(d)(limbbaaxxfxxfd)(d)(lim在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散．6例1计算广义积分12d1xx．解：12d1xxbbxx12d1limbbx1)1(lim1)11(limbb例2计算广义积分02dexx．解：02dexxbxbx02delimbxb02e21lim21)e1(21lim2bb例3计算广义积分0de2xxx．解：0de2xxx0delim2axaxx02)(de21lim2axax02e21limaxa21)e(121lim2aa