经济数学第四章微分方程初步

第四章微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.§4.1微分方程的基本概念定义1凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨论常微分方程，以下简称微分方程或方程.例如，方程20yyx,4dyxdx,04y和02yyy等都是微分方程.定义2微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶.例如，方程12xyy和2xydxdy都是一阶微分方程，方程xyyyln23和04y都是二阶微分方程，方程1)5(y是五阶微分方程.定义3如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，2xy和cxy2(c为任意常数)都是微分方程xy2的解;xxy22和2122cxcxy(1c、2c为任意常数)都是微分方程04y的解.由此可见，若微分方程有解，则有无穷多个解.定义4微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线，该曲线称为微分方程的积分曲线，而这无穷多个解所对应的一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族.定义5如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解，称为微分方程的特解.例如2xy和cxy2分别是方程xy2的特解和通解;xxy22和2122cxcxy分别是方程04y的特解和通解.一般来说，特解是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这种用来确定特解的条件，称为初始条件.设微分方程中的未知函数为)(xyy，通常一阶微分方程的初始条件为00yyxx即00yxy其中0x、0y都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为00yyxx，000yyxx即00yxy与00yxy其中0x、0y和0y都是给定的值.例如，对于方程xy2，它通解是cxy2,由初始条件00xy可确定其通解中的任意常数0c，从而得到其特解2xy.通常，我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题.例如，求一阶微分方程),(yxfy满足初始条件00yyxx的特解这样一个问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作00),(yyyxfyxx二阶微分方程),,(yyxfy满足初始条件00yyxx，000yyxx的初值问题，记作0000,),,(yyyyyyxfyxxxx例1验证函数3cxy是微分方程03yyx的通解，并求满足初始条件21xy的特解.解将所给函数的一阶导数23cxy代入方程左边，得033332cxcxxyyx所以函数3cxy是微分方程03yyx解.又因这个解中含有一个任意常数，因此函数3cxy是微分方程03yyx的通解.将初始条件21xy代入通解，有312c，故2c.因此所求特解为32xy.例2验证函数xxececy221(1c、2c为任意常数)为二阶微分方程02yyy的通解，并求方程满足初始条件000xy，10xy的特解.解由已知xxececy221得xxececy2212及xxececy2214，将y，y，y代入原方程左边，得yyy2xxecec2214+(xxececy2212)-2(xxecec221)=0)224()2(2222111xxeccceccc所以函数xxececy221是所给微分方程的解.由于它含有两个相互独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是原方程的通解.将初始条件000xy，10xy代入y及y，得021cc及1221cc，解之，得,31,3121cc故所求的特解为.31312xxeey§4.2可分离变量的微分方程定义1形如ygxfdxdy（4-1）的微分方程，称为可分离变量的微分方程.方程（4-1）可化为dxxfygdy0yg的形式。而此方程中的变量x和y分别各自处在方程的左右两端，即变量分离.所以，我们称方程（4-1）为可分离变量的微分方程.一般地，求解可分离变量的微分方程的步骤为：第一步，分离变量，得dxxfygdy0yg第二步，两边同时积分，得dxxfygdy第三步，求出积分。若yg1和xf的原函数都存在且分别为yG和xF，则方程（4-1）的解为yG=xF+c（c为任意常数）.我们把这种求解微分方程的方法称为分离变量法.例1求微分方程.2xydxdy解这是一个可分离变量的微分方程.当0y时，分离变量，得,2xdxydy两边积分,2xdxydy得12lncxy或,2xcey其中1cec是非零任意常数.显然，0y也是原方程的解，只要允许0c，那么此解就可以包含在2xcey中,因此原方程的通解为2xcey（c为任意常数）.注：由上例可看出，在积分过程中，原函数出现对数函数时，真数一般可以不加绝对值，任意常数也可写为cln，这样可使运算方便，也可简化结果.例2求微分方程dxydy122满足初始条件00y的特解.解将原方程整理，得,122dxydy当1y时，两边积分得cxyyln11ln因此.011cceyyx故原方程的通解为.11xxcecey将初始条件00y代入通解，得.1c因此所求特解为.11xxeey另外，易知1y也是原方程的解.例3求方程2yxyyy的通解.解原方程化为11yxyy分离变量得11dydxyyx两边积分得1111dxdyyyxlnln1ln1lnyyxc故所求通解为1.1ycxy§4.3一阶微分方程上节我们已会解可分离变量的一阶微分方程(如xydxdy2)，本节我们再介绍两种特殊类型的一阶微分方程及其解法.形如xQyxPy(4-2)的方程，称为一阶线性微分方程.其中xP，xQ为已知的连续函数.其线性的含义是指它关于未知函数y及其导数y的幂都是一次的.它的特点是:右边是已知函数，左边的每项中仅含y和y的一次项.若xQ=0，则方程变为.0yxPy(4-3)方程(4-3)称为一阶线性齐次微分方程.简称线性齐次方程.若xQ≠0，则称方程(4-2)为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常把方程(4-3)称为方程(4-2)所对应的线性齐次方程.下面分别讨论一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程的求解方法.1.一阶线性齐次方程的解法显然，一阶线性齐次方程(4-3)是可分离变量的方程.分离变量，得,dxxPydy两边积分，得lnlnyPxdxc即.dxxPcey(4-4)(4-4)式称为一阶线性齐次方程(4-3)的通解公式.注这里的记号dxxP表示xP的某个确定的原函数.例1求微分方程02yy的通解.解:此方程为一阶线性齐次方程，可以直接用分离变量法求通解，也可代公式(4-4).将xP=2代入公式(4-4)得通解为..22xdxcecey例2求微分方程20yyx的通解.解:这是一阶线性齐次方程,并且,因211,Pxdxdxxx因此,由通解公式(4-4)可得原方程的通解为1xyce.2.一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程可用常数变易法求解:为了求出方程(4-2)的通解,可先将对应的线性齐次方程的通解(4-4)中的任意常数c换成待定函数xc，然后将其代入原方程(4-2)，从而确定xc.设方程(4-2)的通解为.dxxPexcy两边求导.dxxPdxxPexPxcexcy将两式同时代入方程(4-2)，得,dxxPexQxc两边积分,得.cdxexQxcdxxP将此结果代入上面通解式得.cdxexQeydxxPdxxP(4-5)此式称为一阶线性非齐次方程(4-2)的通解公式.例3求微分方程xxyy2的通解.解该方程是一阶线性非齐次方程，xxQxxP,2,代入通解公式(4-5)得:.22cdxxeeyxdxxdx=cdxxeexx22=cxdeexx22221=ceexx2221=.212xce例4求微分方程222xeyxyx的通解.解这是一阶线性非齐次方程,先将其化为标准形式，得,122xexxyy其中.1,22xexxQxxP因为,22xxdxdxxP,1122InxdxxdxeexdxexQxxdxxP所以由通解公式(4-5)得原方程通解为.ln2xceyx§4.4微分方程模型举例微分方程在科技、工程、经济、生态、环境、人口、交通、运动、物理、化学等各个领域中有广泛应用.本节主要介绍应用一阶微分方程解决实际问题的几个事例.例1(运动问题)设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比(比例系数为常数k0)，降落伞离开塔顶(t=0)时的速度为零.求降落伞下落速度与时间t的函数关系.解设降落伞下落速度为)(tv，加速度tva.降落伞在空中下落时，同时受到重力和阻力的作用.重力的大小为mg，方向与v一致;阻力大小为kv，方向与v相反，因此降落伞所受外力为.kvmgF根据牛顿第二运动定律:.maF得函数)(tv应满足的微分方程为.kvmgvm①按题意，初始条件为.00tv因此，该运动问题已化为一个初值问题:.00vkvmgvm方程①是可分离变量的微分方程.分离变量后得,mdtkvmgdv方程两边积分,mdtkvmgdv考虑到,0kvmg得,ln11cmtkvmgk,1kctmkekvmg,1keccekmgvkctmk这就是方程①的通解.再将初始条件.00tv代入通解,得.kmgc于是,所求特解为,1tmkekmgv即为所求的函数关系式.从上式可以看出，随着时间t的增大，速度v逐渐接近于常数kmg，但不会超过kmg.这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动.正因为如此，跳伞员才得以平安落地.例2(折旧问题)企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧.一般说来,固定资产在任一时刻的折旧额与当时固定资产的价值都是成正比的.试研究固定资产价值p与时间t的函数关系.假定某固定资产5年前购买时的价格为10000元,而现在的价值为6000元，试估算固定资产再过10年后的价值.解设t时刻该固定资产的价值tpp,则其该时刻的折旧额就是dtdp.由题意得,kpdtdp其中0k为比例系数.由于固定资产的价值p是随着时间t的增加而减少,因而tp是递减函数，即dtdp0,所以应在k前添加一个负号.分离变量,得,kdtpdp两边积分,得,lnlncktp即.ktcep为便于计算，记5年前的时刻为0t,从而得初始条件