搜索
第2章結構力學總複習13第2章結構力學總複習ReviewofStructuralMechanics這一章的目的是希望能夠在最短的時間內，幫讀者對結構力學作一個總複習，以具備必要的背景知識去理解以後各章節所介紹的觀念。本章的討論只限於線性、靜態的結構之問題。在第一節中我們先定義結構分析的問題：一個實體（body）承受了負載（loads），我們要去求出它所產生的反應（responses）。在這個簡潔的定義中我們使用了幾個名詞：body、loads、及responses，我們將一一分別討論。結構承受負載後的反應通常可以用變位（displacements）、應變（strains）、及應力（stresses）來表示，這些量之間存在某些關係；我們將在第二節中討論控制著這些未知量間的方程式。第三節我們將討論利用有限元素法來解這些控制方程式的基本觀念，包括有限元素法的基本構想及形狀函數（shapefunctions）、勁度矩陣（stiffnessmatrices）等名詞及其背後的重要性。14第2章結構力學總複習第2.1節結構分析問題的定義DefinitionofStructuralAnalysisProblems2.1.1結構分析問題很多的工程分析問題都可以定義成在一個區域（domain）中，承受某些的負載（loads），而我們想要知道這個domain的反應（response）。所謂domain可能是一固體、流體、或只是一個空間，但在結構分析問題上，domain是指一個固態的實體（solidbody）。結構分析是一個固態的實體（body）承受負載（loads）後（如圖2-1所示），求解結構反應（responses）的過程。圖2-1結構分析問題定義圖2-1中我們畫了一個body，並有四個常見的負載加在這個body上。第一個load是作用在邊界S1上的均佈載重F1；第二個load是作用在邊界S2上的集中載重F2；第三個load是作用在邊界S3上的拘束（變位為0）；第四個load是作用第2.1節結構分析問題定義15在邊界S4上的已知變位。結構分析的目是去求解在這樣的loads下所產生的結構的反應。我們所舉的四個負載都是作用在邊界上，所以又可以稱為「邊界條件」（boundaryconditions）。但是負載並不一定全部都作用在邊界上，譬如重力可以均勻作用在body內部，這種情形我們通常不稱之為邊界條件，而以「負載」統稱這些分佈在邊界上及物體內的條件。負載種類我們將在2.1.3小節進一步介紹，而要怎麼去完整的描述結構的反應，我們將在2.1.4至2.1.7小節討論。在2.1.2小節中我們僅以兩個簡單的例子來說明圖2-1的意義。2.1.2結構分析實例圖2-2的例子中的body是一根樑，這根樑承受三個負載：一是集中載重P；二是均佈載Q；三是樑左端的一個拘束（變位為0）。我們想知道在這些負載下，結構的反應是怎樣子的。圖2-3的例子是一個根樑承受了兩個負載：一是右端的已知變位D，二是左端的固定拘束。我們想要知道在這樣的情形下，它的反應會是怎樣子的。圖2-2結構分析實例：懸臂樑承受集中載重P及均佈載QPQD16第2章結構力學總複習圖2-3結構分析實例：懸臂樑承受變位D2.1.3負載為了有效地將負載作用在body中，我們有必要對loads去作一個很清楚的分類。前面所舉的一些loads例子，都是作用在body表面上的，所以我們可以先將負載分為兩大類：作用在物體表面及作用在物體內部的loads。圖2-4列出ANSYS中所考慮的結構物負載。作用在物體表面的loads包括了力及變位；力又可分為集中力（SI單位N）及分佈力（SI單位N/m2）；變位則又可分為零變位及非零變位。以上這些負載應該都是很容易理解的。作用在body內部的loads，最常看到的是熱負載，在ANSYS中是以溫度變化量（℃）描述於整個body中（而非只有表面）。慣性力（如重力、離心力等，SI單位N/m3）也是常見的分佈於整個body的力。其它還有靜電力、磁力等也是分佈在body的力。負載作用在物體表面力表面分佈力點集中力變位零變位（固定）第2.1節結構分析問題定義17非零變位作用在物體內部力慣性力（重力、離心力）其他體積分佈力（電力、磁力）熱溫度變化圖2-4結構負載的分類2.1.4反應我們通常用變位、應變、應力來表示一個body承受loads後的結構反應。圖2-5列出本書所用的變位、應變、應力的符號及它們分量的個數。注意，在3D的結構分析中，我們總共使用了15個分量來描述結構反應，而每一個分量都是位置的函數。事實上，這些量之間並非是完全獨立的，我們將在2.2節討論它們之間的關係。為什麼我們要用變位、應變、應力來描述結構反應呢？變位是指每一直點的位移，它代表結構的變形；所以描述結構反應時，變位是不可或缺的。但是應力、應變的重要性又是如何呢？一個材料它能夠承受的應力、應變都是有一限度的；應力、應變超過某一程度，就會破壞掉（fracture）或降伏掉（yield），所以它們通常作為結構設計是否實用的重要檢驗基準。結構反應符號分量數目變位（displacements）{u}3應變（strains）{}618第2章結構力學總複習應力（stresses）{}6圖2-5結構負載的分類在本書中，我們用{u}來代表變位、用{}來代表應變、用{}來代表應力。我們會在以下的三個小節裡分別來討論這些量。注意，這三個量都不是單一的量，所以我們用向量來表示它們。在3D的結構系統裡面，變位有3個分量，應變及應力各有六個分量，一共有15個分量。我們把這15個量當做是我們要去求解的未知量，只要知道了這15個量，就能清楚的來描述結構反應。注意，去選用多少的未知量是任意的，只要我們建立出等量的方程式，就可以去解出未知量。2.1.5變位圖2-6變位變位應該是很容易了解的。在圖2-6中，我們畫了變形前及變形後的body；假設某一個特定的質點（x,y,z）在變形後移到了一個新的位置，我們把它的位移用一個向量（vector）來表示，這就是這個點的變位（displacement），我們用{u(x,y,z)}來代表。因為它是一個向量，所以在3D中我們可以用三個分量ux、uy、uz來表示：第2.1節結構分析問題定義19zyxuuuu(2.1)注意，2.1式中的3個分量都是位置的函數。2.1.6應力上一小節所討論的「變位」是很容易了解的，它可以用向量來表示，而我們通常很熟悉向量的觀念。相對的，應力及應變的觀念則有一點複雜。嚴格來說「應力」用向量來表示是不精確的；比較精確的方式是用張量（tensor）來表示，但是tensor是很不容易理解的數學表示方式，所以除非必須非常深入地討論應力，一般的結構力學講解還是捨棄用tensor來解說應力。應力是在描述力的密度（intensity），也就是是每單位面積有多少力量（SI單位N/m2）。如果有一條斷面積A的鋼條被施以F的力量，則我們說沿著長度方向有F/A的應力。在3D的情況下，事情變得有點複雜。現在假想你被埋在一個body裡面的A點，這個body承受了某些loads，如圖2-7所示；你如何對外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢？也就是說你的每單位表面積受到多少力。20第2章結構力學總複習圖2-7結構系統中的某一點A的應力為了說明，我們假設有一個座標系統xyz可供參照，如圖所示。如果這個body是一靜止的液體，你會受到四面八方相同的壓力，所以只要一個量就可以完整地描述你承受的應力。假設壓應力大小是p（SI單位N/m2），那麼你可以如此描述：「我感受到p的壓應力」。當我們感受力量向著自己時，這個應力稱為壓應力；反之當我們感受力量遠離自己時，這個應力稱為張應力。注意，當圖中的body是靜止液體時，你永遠會感受力量向著自己的，亦即永遠是壓應力，而且此壓應力大小與方向無關。當圖中的body是固態實體時，你會在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要精確地描述所承受的力，必須先說明在哪個方向，譬如：「我在某方向感受到p的應力」。注意，p本身是一個向量，當向著你自己時，這個應力稱為壓應力；反之當遠離自己時，這個應力稱為張應力。圖2-8物體中某一點的應力描述第2.1節結構分析問題定義21我們以圖2-8來進一步說明上述這一句話（在某方向感受到p的應力）的意義。圖2-8中，我們以圍繞在A點（圖2-7）的6個平面來分別代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向，譬如垂直於+x方向的平面稱為+x平面、垂直於-x方向的平面稱為-x平面、其他類同。假設你在+x方向感受到p的應力（注意，其SI單位為N/m2），亦即有p的應力作用在+x平面上。若將此應力拆成三個分量，分別平行於x、y、及z方向——在圖2.8中我們以x、xy、xz來表示，注意其中第一個下標x是指作用在+x平面上、第二個下標是指應力的方向。因為x垂直於+x平面，所以我們稱之為該平面上的正向應力；而因為xy、xz相切於+x平面，所以我們稱之為該平面上的剪向應力。圖2-9是與圖2-8是完全一樣的，只是轉個方向而已。圖2-9物體中某一點的應力描述（X-YPlaneView）為了描述某一個點的應力，只有描述一個方向（或平面）的應力是不夠的；在3D的世界裡，我們最少需要描述三個方向的應力才能完整地描述某一點的應力22第2章結構力學總複習狀態。其它方向的應力可以從這三個方向的應力來推算出來，但是這三個方向必須是獨立的，一般我們選擇+x、+y、及+z方向。如前面所討論的，我們以x、xy、xz來表示+x方向的正應力及平行於+y及+z方向的剪應力；同樣的我們以y、yx、yz來表示+y方向的正應力及平行於+x及+z方向的剪應力；而以z、zx、zy來表示+z方向的正應力及平行於+x及+y方向的剪應力。所以我們可以用9個分量來表示一個點的應力狀態：zzyzxyzyyxxzxyx(2.2)這9個應力分量分別表示在圖2-8中的立方體上。事實上這9個分量也並不是完全的獨立的，我們可以証明xzzxzxyzyxxy(2.3)也就是說2.2式中的矩陣是對稱的。所以只要用6個分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成zxyzxyzyxσ(2.4)2.3式的證明很簡單，只要將圖2-8的立方體視為一個自由體（freebody），再取下列力平衡條件即可得到證明：第2.1節結構分析問題定義230,0,0zyxMMM2.1.7應變圖2-10質點A的應變應變是在描述某一質點被拉申或壓縮的程度，它的單位是每單位長度的拉伸長度（SI單位m/m，所以相當於無單位）。如果有一長度L的物體被均勻拉長L，則我們說沿著長度方向有L/L的應變。在3D的情況下，應變比應力更難理解。現在讓我們來思考一個body內的一個質點A及鄰近的點B和C，如圖2-10所示。注意，我們故意選擇三個點的位置使的AB和AC互相垂直。假設這個body變形以後ABC三個點變為A’B’C’三個點。為了要計算AB和AC這兩根纖維在變形後被拉伸了多少，我們先將變位前後的纖維疊合在一起做比較，亦即將變形後的纖維A’B’C’作一個旋轉變成A’B”C”，再作一個平移變成AB’’’C’’’。注意，經過旋轉及平移後並不影響其兩根纖維的相對關係（即長度及夾角）。現在可以很清楚地看出原來的x方向的一條小纖維AB被24第2章結構力學總複習拉伸成AB’’’，其總伸長可以用向量BB’’’來表示。這個伸長量BB’’’可拆成兩個分量：正向伸長量BD及剪向伸長量DB’’’，我們將它們除以原來的長度AB就是正向應變（用x表示）及剪向應變（用xy表示）：ABBDABBDxyx,注意我們使用了和應力一樣的下標，亦即第一個下標x是指作用在+x平面上、第二個下標是指應變的方向。以上的誘導主要是要讓讀者在觀念上理解到正向應變及剪向應變的涵義。根據上式，正向應變（normalstrain）是很容易理解的：x平面上（有關x平面的定義請