结构化学第二章答案

【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态(1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量。解：811412.99810ms4.46910s670.8mc417111.49110cm670.810cm3414123-1-16.62610Js4.469106.602310mol178.4kJmolAEhNs【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hvhvmv12018123414193122.9981026.626105.46410300109.10910hvvmmsJssmkg1341412315126.626104.529109.109108.1210Jsskgms【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃；（b）动能为0.1eV的中子；（c）动能为300eV的自由电子。解：根据关系式：(1)34221016.62610Js6.62610m10kg0.01mshmv3412719-11(2)26.62610Js21.67510kg0.1eV1.60210JeV9.40310mhhpmT34311911(3)26.62610Js29.10910kg1.60210C300V7.0810mhhpmeV【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。解：根据deBroglie关系式：34311951226.6261029.109101.602102102.74210hhhpmmeVJskgCVm【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度为的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：3431193102/10%6.626101029.109101.60210103.8810hhxmmeVmJskgCVm这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m）观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：991111.22610/11.22610100001.22610xhhxmphVmm这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610xhJspxmJsm在104V的加速电压下，电子的动量为：31194231229.109101.60210105.40210xxpmmeVkgCVJsm由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsinarcsin6.62610arcsin5.40210arcsin100xxoppJsmJsm这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射【1.11】2axxe是算符22224daxdx的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244axddaxaxxedxdx2222224axaxdxeaxxedx22222222232323242444axaxaxaxaxaxaxdeaxeaxedxaxeaxeaxeaxe266axaxea因此，本征值为6a。【1.12】下列函数中，哪几个是算符22ddx的本征函数？若是，求出本征值。3,sin,2cos,,sincosxexxxxx解：2x2dedx，xe是22ddx的本征函数，本征值为1。22dsinx1sinx,dxsinx是22ddx的本征函数，本征值为1。22d(2cosx)2cosxdx【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2sinnnxxll1,2,3n式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标0xl，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：222n222hd2nπxhd2nπnπxˆHψ(x)-(sin)-(cos)8πmdxll8πmdxlll222(sin)8hnnnxmllll222222222sin()88nhnnxnhxmlllml即：2228nhEml（2）由于ˆˆx()(),xnnxcx无本征值，只能求粒子坐标的平均值：xlxnsinlxlxnsinlxxˆxxl*lnl*nd22dx000xlxncosxldxlxnsinxllld221220022000122sinsind222lllxlnxlnxxxlnlnl2l（3）由于ˆˆp,pxnnxxcx无本征值。按下式计算px的平均值:1*0ˆdxnxnpxpxx1022sinsind2nxihdnxxlldxll20sincosd0lnihnxnxxlll1】函数22/sin(/)32/sin(2/)xaxaaxa是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数12/sin(/)xaxa和22/sin(2/)xaxa都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为1223HxHxx1223HxHx22122242388hhxxmama常数x所以，x不是H的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。将x归一化：设'x=cx，即：22'22000aaaxdxcxdxcxdx2202222sin3sinaxxcdxaaaa2131c2113cx所代表的状态的能量平均值为：''0aExHxdx222202222sin3sin8amxxhdccaaaadx2222sin3sinxxccdxaaaa2222222233200015292sinsinsinsin2aaachxchxxchxdxdxdxmaamaaamaa222225513chhmama也可先将1x和2x归一化，求出相应的能量，再利用式2iiEcE求出x所代表的状态的能量平均值：222222222224049888hhchEccmamama22401813hma22513hma【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i）处于基态的另一氢原子电离？（ii）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为197.4410J）？(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：18212.1810nEJn式中n是主量子数。第一激发态(n＝2)和基态(n＝1)之间的能量差为：1818181212211(2.1810)(2.1810)1.641021EEEJJJ原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：81341181(2.997910)(6.62610)1211.6410chmsJsnmEJ第六激发态(n＝7)和基态(n＝1)之间的能量差为：1818186712211(2.1810)(2.1810)2.141071EEEJJJ所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：81346186(2.997910)(6.62610)92.92.1410chmsJsnmEJ这两条谱线皆属Lyman系，处于紫外光区。（b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：ΔE∞=E∞-E1=-E1=2.18×10-18J而ΔE1=1.64×10-18JΔE∞ΔE6=2.14×10-18JΔE∞所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是ΔE1ФCu=7.44×10-19JΔE6ФCu=7.44×10-19J所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。（c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：2hhhpmvmE式中ΔE为照射到晶体上的光子的能量和ФCu之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：34'1131181926.62610519(29.109510)(1.64107.4410)JspmkgJJ34'6131181926.62610415(29.109510)(2.14107.4410)JspmkgJJ【2.6】计算氢原子的1s电子出现在100rpm的球形界面内的概率。1naxnaxnaxxenxedxxedxcaa解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率为：100221000pmsPd00221001002222330000000011sinsinrrpmpmaaerdrddredrddaa00100221002232000000044224pmrrpmaaarararedreaa0100222000221pmrarreaa0.728那么，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面之外的概率为1-0.728=0.272。【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为1/23100exp/sara(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量；(b)利用维里定理求该基态的平均势能