用物理的方法求解曲率半径

用物理的方法求解曲率半径（引用《更高更妙的物理》）利用数学方法求解曲率半径具有普遍性而且非常方便，其缺点就是曲率半径的公式不容易记忆，实际上yx,对时间t的一阶、二阶导数就是沿着yx,方向的速度和加速度，把平面曲线运动分解为两个相互垂直的直线运动，因此利用数学参数方程结合物理方法求解曲率半径，是一种比较容易掌握的方法。例如：求质点运动的椭圆轨道方程12222byax，试求bBoaA,0,、两点的曲率半径.解法一：用数学上的曲率半径公式。解法二：将长半轴为a，短半轴为b的椭圆看成是半径为aR的圆在xOy平面上的投影，圆平面与xOy的夹角满足关系abRbcos。设一个质点一速率v在圆上做匀速圆周运动，此运动在xOy平面上的投影是椭圆运动，该质点的向心加速度avan2，质点的投影在椭圆的长轴上的A点的时候，其速率和加速度分别为avaavvnAA2,cos，因此曲率半径abavAA22，该质点的投影在椭圆的短轴上的B的时候，同样有：vvB，22cosabvaanB，则baavBB22.解法三：如下图，地球绕着太阳做椭圆运动的行星模型，设太阳位于椭圆的右焦点M上，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，太阳和地球的质量分别为M和m，经过（假设是逆时针的）图中CBA,,三点的速度分别为321,,vvv。由系统的机械能守恒得：caMmGmvaMmGmvcaMmGmv232221212121①由角动量守恒定理得：cavbvcav321②根据①②两个式子，解得：aGMcabvaGMvaGMcabv321,,.对A点有AvmcaMmG212，对B点有BvmBOAaMmG222cos，其中abBOAcos，这样就可以解得baabBA22,.