绝对值的意义谢

一、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：||0aaaaaa当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。二、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（C）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：yx3，0)()(yxzyzxyxzyzx1)1(xx201020081861641421（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，y0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x0，y0，则2y=8，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．1111112220072007abababab分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1,当-1x0时，距离为x+1，当x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1x（3）结合数轴求得23xx的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析：2x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。)3(3xx即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意（4）满足341xx的x的取值范围为x-4或x-1三、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式xyxxxmx537852222的值与x无关，求mmmm45222的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零利用“整体思想”求代数式的值例2．x=-2时，代数式635cxbxax的值为8，求当x=2时，代数式635cxbxax的值。例3．当代数式532xx的值为7时,求代数式2932xx的值.代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例4．已知012aa，求2007223aa的值.分析：解法一（整体代人）：由012aa得023aaa解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由012aa，得aa12，解法三（降次、消元）：12aa（消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323aaaaaaaaaaa例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是_______。例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。26134411第一次F②第二次F①第三次F②…第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题：、典型例题例1．若关于x的一元一次方程2332xkxk=1的解是x=-1，则k的值是（）A．27B．1C．-1311D．0分析：本题考查基本概念“方程的解”例2．若方程3x-5=4和方程0331xa的解相同，则a的值为多少？例3.（方程与代数式联系）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算bcaddcba.（1）则2121的值为；（2）当185)1(42x时，x=.例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．baaB．babC．habD．hah分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+21不考虑瓶子的厚度.课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：bax是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以bax不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6．解方程bax解：（分类讨论）当a≠0时，abx例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4例8．解方程11xxababab分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab二、含绝对值的方程解法例9．解下列方程523x解法1：（分类讨论解法2：（整体思想）例10．解方程21513x例11．解方程121xx分析：此题适合用解法2当x-10时，即x1，x-1=-2x+1，3x=2，x=32因为x=32不符合大前提x1，所以此时方程无解当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0=-1，此时方程无解当x-10时，即x1，1-x=-2x+1，x=0因为x=0符合大前提x1，所以此时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0