三角函数的定义域与值域题库

专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、B、C、D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、2解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y有最大值为1，故函数y的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、B、C、D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7]∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．39、若，则函数y=的值域为（）A、B、C、D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、B、C、D、解答：∵函数，∴当sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z}故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3]故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、4解答：解：由题=，当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，]可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、B、C、[﹣1，1]D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）∴函数的值域为[﹣1，1]故选C．14、若≥，则sinx的取值范围为（）A、B、C、∪D、∪解答：∵≥，∴解得x∈[，）∪（，]∴sinx∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]解答：∵x∈[﹣，]∴cosx∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2则y∈[﹣，2]故选A二、填空题（共7小题）516、已知，则m的取值范围是．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:6f（x）==﹣2在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。723、（2007•重庆）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限，且cosa=3/5，求f（a）解答：（Ⅰ）由≠0得x+≠kπ，即x≠，故f（x）的定义域为．（Ⅱ）由已知条件得．从而===．24、（2006•上海）求函数的值域和最小正周期．解答：===∴函数的值域是[﹣2，2]，最小正周期是π；25、设，定义．（Ⅰ）求函数f（x）的周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．解答：（Ⅰ）=sinxcosx﹣cos2x=﹣=，∴周期T=π．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴f（x）的值域为．826、已知函数：（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；（2）当时，求函数f（x）的最值．解答：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴函数的最小正周期T==π，﹣1≤sin（2x+）≤1，故函数的值域为[﹣，]当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，即kπ﹣≤x≤kπ+，函数单调增，故函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）（2）∵∴2x+∈[，]∴当2x+=时函数的最小值为﹣；当2x+=时函数的最大值为+=127、已知函数．（I）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对都成立，求实数m的最大值．解答：（I）因为=由得所以f（x）的单调增区间是；（Ⅱ）因为，所以所以所以故m≤1，即m的最大值为1．28、已知函数（1）求的值；（2）写出函数函数在上的单调区间和值域．9解答：=（1）当时，f（x）=2﹣sinx﹣cosx，故．（2）当时，|cosx|=﹣cosx，|sinx|=sinx，故，当时，故当是，函数f（x）单调递增，当时，函数f（x）单调递减；函数的值域是．29、已知函数（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求w的取值范围（2）设集合，若A⊆B，求实数m的取值范围．解答：（1）∵f（ωx）=2sinωx+1在上是增函数．∴，即（2）由|f（x）﹣m|＜2得：﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2∵A⊆B，∴当时，f（x）﹣2＜x＜f（x）+2恒成立．∴[f（x）﹣2]max＜m＜[f（x）+2]min又时，∴m∈（1，4）1030、已知点A（1，，0），B（0，，1），C（2sinθ，cosθ）．（Ⅰ）若，求tanθ的值；（Ⅱ）设O为坐标原点，点C在第一象限，求函数的单调递增区间与值域．解答：（Ⅰ）∵A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）∵∵∴化简得2sinθ=cosθ．∵cosθ≠0（若cosθ=0，则sinθ=±1，上式不成立），∴（Ⅱ）∵，∴y=2sinθ+2cosθ=∴求函数的单调递增区间为值域是