统计学各章计算题公式及解题方法

1统计学各章计算题公式及解题方法第四章数据的概括性度量1.组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算：下限公式：𝑀0=̇𝐿+∆1∆1+∆2×𝑑；上限公式：𝑀0=̇𝑈−∆2∆1+∆2×𝑑，其中，L为众数所在组下限，U为众数所在组上限，∆1为众数所在组次数与前一组次数之差，∆2为众数所在组次数与后一组次数之差，d为众数所在组组距2.中位数位置的确定：未分组数据为𝑛+12；组距分组数据为𝑛23.未分组数据中位数计算公式：4.单变量数列的中位数：先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组—对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5.组距式数列的中位数计算公式：下限公式：𝑀𝑒=𝐿+𝑛2−𝑆𝑚−1𝑓𝑚×𝑑；上限公式：𝑀𝑒=𝑈−𝑛2+𝑆𝑚+1𝑓𝑚×𝑑，其中，𝑓𝑚为中位数所在组的频数，𝑠𝑚−1为中位数所在组前一组的累积频数，𝑠𝑚+1为中位数所在组后一组的累积频数6.四分位数位置的确定：未分组数据：{下四分位数：𝑄𝐿=𝑛+14上四分位数：𝑄𝑈=3(𝑛+1)4；组距分组数据：{下四分位数：𝑄𝐿=𝑛4上四分位数：𝑄𝑈=3𝑛47.简单均值：𝑥̅=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛𝑛=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑛8.加权均值：𝑥̅=𝑀1𝑓1+𝑀2𝑓2+⋯+𝑀𝑘𝑓𝑘𝑓1+𝑓2+⋯+𝑓𝑘=∑𝑀𝑖𝑓𝑖𝑘𝑖=1𝑛=∑𝑀𝑖𝑘𝑖=1𝑓𝑖𝑛，其中，𝑀1，𝑀2…𝑀𝑘为各组组中值9.几何均值（用于计算平均发展速度）：𝑥̅=√𝑥1×𝑥2×…×𝑥𝑛𝑛=√∏𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑛10.四分位差（用于衡量中位数的代表性）：𝑄𝐷=𝑄𝑈−𝑄𝐿11.异众比率（用于衡量众数的代表性）：𝑉𝑟=∑𝑓𝑖−𝑓𝑚∑𝑓𝑖=1−𝑓𝑚∑𝑓𝑖12.极差：未分组数据：R=𝑚𝑎𝑥(𝑥𝑖)−𝑚𝑖𝑛(𝑥𝑖)；组距分组数据：R=̇最高组上限−最低组下限13.平均差（离散程度）：未分组数据：𝑀𝑑=∑|𝑥𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1𝑛；组距分组数据：𝑀𝑑=̇∑|𝑀𝑖−𝑥̅|𝑘𝑖=1∙𝑓𝑖𝑛14.总体方差：未分组数据：σ2=∑(𝑥𝑖−𝜇)2𝑁𝑖=1𝑁；分组数据：σ2=∑(𝑀𝑖−𝜇)2𝑘𝑖=1∙𝑓𝑖𝑁15.总体标准差：未分组数据：σ=√∑(𝑥𝑖−𝜇)2𝑁𝑖=1𝑁；分组数据：σ=√∑(𝑀𝑖−𝜇)2𝑘𝑖=1∙𝑓𝑖𝑁16.样本方差：未分组数据：𝑠𝑛−12=∑(𝑥−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑛−1；分组数据：𝑠𝑛−12=∑(𝑀𝑖−𝑥̅)2∙𝑓𝑖𝑘𝑖=1𝑛−117.样本标准差：未分组数据：𝑠𝑛−1=√∑(𝑥−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑛−1；分组数据：𝑠𝑛−1=√∑(𝑀𝑖−𝑥̅)2∙𝑓𝑖𝑘𝑖=1𝑛−1统计学各章计算题公式及解题方法218.标准分数：𝑧𝑖=𝑥𝑖−𝑥̅𝑠19.离散系数：𝑣𝑠=𝑠𝑥̅第七章参数估计1.𝑍𝛼2的估计值：置信水平α𝛼2𝑍𝛼290%0.10.051.65495%0.050.0251.9699%0.010.0052.582.不同情况下总体均值的区间估计：总体分布样本量σ已知σ未知正态分布大样本（n≥30）𝑥̅±𝑧𝛼2𝜎√𝑛𝑥̅±𝑧𝛼2𝑠√𝑛小样本（n30）𝑥̅±𝑧𝛼2𝜎√𝑛𝑥̅±𝑡𝛼2𝑠√𝑛非正态分布大样本（n≥30）𝑥̅±𝑧𝛼2𝜎√𝑛𝑥̅±𝑧𝛼2𝑠√𝑛其中，𝑡𝛼2查p448，查找时需查n-1的数值3.大样本总体比例的区间估计：𝑝±𝑧𝛼2√𝑝(1−𝑝)𝑛4.总体方差𝜎2在1−α置信水平下的置信区间为：(𝑛−1)𝑠2𝜒𝛼/22≤𝜎2≤(𝑛−1)𝑠2𝜒1−𝛼/225.估计总体均值的样本量：n=(𝑍𝛼/2)2𝜎2𝐸2，其中，E为估计误差6.重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：n=(𝑍𝛼/2)2𝜋(1−𝜋)𝐸2，其中π为总体比例第八章假设检验1.总体均值的检验（𝜎2已知或𝜎2未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似]假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式𝐻0：μ=𝜇0𝐻1：μ≠𝜇0𝐻0：μ≥𝜇0𝐻1：μ𝜇0𝐻0：μ≤𝜇0𝐻1：μ𝜇0统计量σ已知z=𝑥̅−𝜇0𝜎√𝑛⁄σ未知z=𝑥̅−𝜇0𝑠√𝑛⁄拒绝域|𝑧|𝑧𝛼2⁄z−𝑧𝛼z𝑧𝛼P值决策Pα，拒绝𝐻02.总体均值检验（𝜎2未知，小样本，总体正态分布）假设双侧检验左侧检验右侧检验统计学各章计算题公式及解题方法3假设形式𝐻0：μ=𝜇0𝐻1：μ≠𝜇0𝐻0：μ≥𝜇0𝐻1：μ𝜇0𝐻0：μ≤𝜇0𝐻1：μ𝜇0统计量σ已知z=𝑥̅−𝜇0𝜎√𝑛⁄σ未知t=𝑥̅−𝜇0𝑠√𝑛⁄拒绝域|𝑡|𝑡𝛼2⁄(𝑛−1)t−𝑡𝛼(𝑛−1)t𝑡𝛼(𝑛−1)P值决策Pα，拒绝𝐻0注：σ已知的拒绝域同大样本3.一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中𝜋0为假设的总体比例）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式𝐻0：π=𝜋0𝐻1：π≠π0𝐻0：π≥𝜋0𝐻1：ππ0𝐻0：π≤𝜋0𝐻1：ππ0统计量z=𝑝−𝜋0√𝜋0(1−𝜋0)𝑛拒绝域|𝑧|𝑧𝛼2⁄z−𝑧𝛼z𝑧𝛼P值决策Pα，拒绝𝐻04.总体方差的检验（𝜒2检验）假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式𝐻0：σ2=σ02𝐻0：σ2≠σ02𝐻0：σ2≥σ02𝐻0：σ2σ02𝐻0：σ2≤σ02𝐻0：σ2σ02统计量χ2=(𝑛−1)𝑠2𝜎02拒绝域χ2𝜒𝛼2⁄2(𝑛−1)χ2𝜒1−𝛼2⁄2(𝑛−1)χ2𝜒1−𝛼2⁄2(𝑛−1)χ2𝜒𝛼2⁄2(𝑛−1)P值决策Pα，拒绝𝐻05.z统计量的参考数值α0.10.050.01双侧检验±1.65±1.96±2.58单侧检验±1.28±2.65±2.33第九章列联分析1.期望频数的分布（假定行变量和列变量是独立的）一个实际频数f𝑖𝑗的期望频数e𝑖𝑗，是总频数的个数𝑛乘以该实际频数f𝑖𝑗落入第𝑖行和第j列的概率，即：𝑒𝑖𝑗=𝑛·(𝑟𝑖𝑛)∙(𝑒𝑗𝑛)=𝑟𝑖𝑐𝑗𝑛2.𝜒2统计量（用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性；用于测定两个分类变量之间的相关程度χ2=∑∑(𝑓𝑖𝑗−𝑒𝑖𝑗)2𝑒𝑖𝑗𝑐𝑗=1𝑟𝑖=1，自由度为(𝑟−1)(𝑐−1)，𝑓𝑖𝑗为列联表中第i行第j列的实际频数，𝑒𝑖𝑗为列联表中第i行第j列的期望频数1)检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H0：1=2=…=j；H1：1，2，…，j不全相等；计算检验统计学各章计算题公式及解题方法4的统计量；进行决策：根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2，若22，拒绝H0；若22，不拒绝H02)利用样本数据检验总体比例是否等于某个数值检验的步骤提出假设H0：1=，2=，…；H1：原假设的等式中至少有一个不成立；计算检验的统计量；进行决：根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2；若22，拒绝H0；若22，不拒绝H03)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤提出假设H0：行变量与列变量独立；H1：行变量与列变量不独立；计算检验的统计量；进行决策：根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值2，若22，拒绝H0；若22，不拒绝H03.相关系数：测度22列联表中数据相关程度；对于22列联表，系数的值在0～1之间φ=√𝜒2𝑛，其中，n为实际频数总个数，即样本容量4.列联相关系数（C系数）用于测度大于22列联表中数据的相关程度𝐶=√𝜒2𝜒2+𝑛，其中，C的取值范围是0≤C1；C=0表明列联表中的两个变量独立；C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大；根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较5.V相关系数V=√𝜒2𝑛𝑚𝑖𝑛[(𝑟−1)，(𝑐−1)]，其中，V的取值范围是0≤V≤1；V=0表明列联表中的两个变量独立；V=1表明列联表中的两个变量完全相关；不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较；当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=φ第十章方差分析1.单因素方差分析的要点：1)建立假设的表述方法：𝐻0：𝜇1=𝜇2=⋯=𝜇𝑘,自变量对因变量没有显著影响𝐻1：𝜇1，𝜇2，…，𝜇𝑘不全相等，自变量对因变量有显著影响2)决策：i.根据给定的显著性水平α，在F分布表中查找与第一自由度df1=k−1、第二自由df2=n−k相应的临界值F𝛼ii.若FF𝛼，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响iii.若FF𝛼，则不拒绝原假设H0，不能认为所检验的因素对观察值有显著影响3)单因素方差分析表的结构：统计学各章计算题公式及解题方法52.方差分析中的多重比较（步骤）：采用Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD1)提出假设：𝐻0：𝜇𝑖=𝜇𝑗(第𝒾个总体的均值等于第𝒿个总体的均值)𝐻0：𝜇𝑖≠𝜇𝑗(第𝒾个总体的均值不等于第𝒿个总体的均值)2)计算检验统计量：𝑥̅𝑖−𝑥̅𝑗3)计算LSD：LSD=𝑡𝛼2√𝑀𝑆𝐸(1𝑛𝑖+1𝑛𝑗)4)决策：若|𝑥̅𝑖−𝑥̅𝑗|𝐿𝑆𝐷,则拒绝𝐻0；若|𝑥̅𝑖−𝑥̅𝑗|𝐿𝑆𝐷，则不拒绝𝐻03.双因素方差分析：1)无交互作用的双因素方差分析表结构：2)有交互作用的双因素方差分析表结构：4.关系强度测量：变量间关系的强度用自变量平方和(SSA)及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比例大小来反映，根据𝑅2平方根R进行判断𝑅2=𝑆𝑆𝐴（组间平方和）𝑆𝑆𝑇（总平方和）统计学各章计算题公式及解题方法6第十一章一元线性回归1.样本的相关系数：r=∑(𝑥−𝑥̅)(𝑦−𝑦̅)√∑(𝑥−𝑥̅)2∙∑(𝑦−𝑦̅)2=𝑛∑𝑥𝑦−∑𝑥∑𝑦√𝑛∑𝑥2−(∑𝑥)2∙√𝑛∑𝑦2−(∑𝑦)22.相关系数的显著性检验步骤：1)提出假设：𝐻0：ρ=0；𝐻1：ρ≠02)计算检验统计量：t=|𝑟|√𝑛−21−𝑟2~𝑡(𝑛−2)3)确定α并决策：|𝑡|𝑡𝛼2，拒绝𝐻0；|𝑡|𝑡𝛼2，不拒绝𝐻03.一元回归模型：y=𝛽0+𝛽1𝑥+𝜖4.一元线性回归方程形式：𝐸(𝑦)=𝛽0+𝛽1𝑥，其中𝛽0是直线方程在y轴上的截距，是当𝑥=0时，y的期望值；𝛽1是直线的斜率，称为回归系数，表示当𝑥每变动一个单位时y的平均变动值5.一元线性回归中，估计的回归方程：𝑦̂=𝛽̂0+𝛽̂1𝑥,其中𝛽̂0是估计的回归直线在y轴上的截距，𝛽̂1是直线的斜率，它表示对于一个给定的𝑥的值，𝑦̂是y的估计值，表示当𝑥每变动一个单位时y的平均变动值6.根据最小二乘法求𝛽̂0以及𝛽̂1的公式：{𝛽̂1=𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖−(∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1)(∑𝑦𝑖𝑛𝑖=1)𝑛𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−(∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1)2𝛽̂0=𝑦̅−𝛽1𝑥̅7.误差平方和之间的关系：∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2=𝑛𝑖=1∑(𝑦̂𝑖−𝑦̅)2+∑(𝑦𝑖−𝑦̂𝑖)