统计学教案习题10直线相关与回归

第十章直线相关与回归一、教学大纲要求（一）掌握内容⒈直线相关与回归的基本概念。⒉相关系数与回归系数的意义及计算。⒊相关系数与回归系数相互的区别与联系。（二）熟悉内容⒈相关系数与回归系数的假设检验。⒉直线回归方程的应用。⒊秩相关与秩回归的意义。（三）了解内容曲线直线化。二、学内容精要(一)直线回归1.基本概念直线回归(linearregression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simpleregression）。直线回归方程bXaYˆ中，a、b是决定直线的两个系数，见表10-1。表10-1直线回归方程a、b两系数对比ab含义回归直线在Y轴上的截距（intercept）。表示X为零时，Y的平均水平的估计值。回归系数（regressioncoefficient），即直线的斜率。表示X每变化一个单位时，Y的平均变化量的估计值。系数0a0表示直线与纵轴的交点在原点的上方b0，表示直线从左下方走向右上方，即Y随X增大而增大系数0a0表示直线与纵轴的交点在原点的下方b0，表示直线从左上方走向右下方，即Y随X增大而减小系数=0a=0表示回归直线通过原点b=0，表示直线与X轴平行，即Y不随X的变化而变化计算公式XbYaXXXYllXXYYXXb2)())((2.样本回归系数b的假设检验（1）方差分析；（2）t检验。3.直线回归方程的应用（1）描述两变量的依存关系；（2）用回归方程进行预测；（3）用回归方程进行统计控制；（4）用直线回归应注意的问题。(二)直线相关1.基本概念直线相关（linearcorrelation）又称简单相关（simplecorrelation），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间，相关关系的密切程度与相关方向的指标。2.计算公式YYXXXYlllYYXXYYXXr22)()())((相关系数r没有单位，其值为－1≤r≤1。其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切；愈接近0，相关愈不密切。r值为正表示正相关，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；r值为负表示负相关，说明一变量增加、另一变量减少，即方向相反；r的绝对值等于1为完全相关。3.样本相关系数r的假设检验（1）r界值表法；（2）t检验法。（三）直线回归与相关的区别与联系1.区别（1）资料要求：直线回归要求因变量Y服从正态分布，X是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。（2）应用情况：直线回归是说明两变量依存变化的数量关系；直线相关是说明两变量间的相关关系。（3）意义：b表示X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位；r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。（4）计算：b=lxy/lxx；r=lxy/yyxxll。（5）取值范围：—∞＜b＜+∞；－1≤r≤1。（6）单位：b有单位；r没有单位。2.联系（1）方向一致：对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。（2）假设检验等价：对同一样本，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。（3）用回归解释相关：决定系数总回SSSSlllryyxxxy22，回归平方和越接近总平方和，则r2越接近1，说明引入相关的效果越好。（四）秩相关秩相关，又称等级相关（rankcorrelation），是用双变量等级数据作直线相关分析，适用于下列资料：⒈不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；⒉总体分布型未知；⒊用等级表示的原始数据。三、典型试题分析1．回归系数的假设检验（）A．只能用r的检验代替B．只能用t检验C．只能用F检验D．三者均可答案：D[评析]本题考点：回归系数假设检验方法的理解。回归系数的假设检验常用的方法有：①方差分析；②t检验。对同一样本，r和b的假设检验等价，r和b的假设检验得到的t值相等，即tb=tr。故回归系数的假设检验用三者均可。2．已知r1=r2，那么（）A．b1=b2B．tb1=tb2C．tr1=tr2D．两样本决定系数相等答案：D[评析]本题考点：直线相关系数与回归系数关系的理解。因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同，不能推导出b1=b2；r和b的假设检验等价，即tr1=tb1，tr2=tb2，而不是tb1=tb2，tr1=tr2；样本决定系数为r2，已知r1=r2，则两样本决定系数相等，即r12=r22。3．|r|r0.05(n-2)时，可认为两变量X与Y间（）A．有一定关系B.有正相关关系C．一定有直线关系D.有直线关系答案：D[评析]本题考点：直线相关系数假设检验的理解。因为直线相关系数r是样本的相关系数，它是相应总体相关系数ρ的估计值。由于抽样误差的影响，必须进行显著性检验。r的假设检验是检验两变量是否有直线相关关系。|r|r0.05(n-2)时，P0.05，拒绝H0，接受H1，认为总体相关系数ρ≠0，因此可认为两变量X与Y间有直线关系。4．相关系数检验的无效假设H0是（）A．ρ=0B.ρ≠0C．ρ0D.ρ0答案：A[评析]本题考点：直线相关系数显著性检验中检验假设的理解。因为r是样本相关系数，它是总体相关系数ρ的估计值。要判两变量间是否有相关关系，就要检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。因为即使从ρ=0的总体作随机抽样，由于抽样误差的影响，所得r值也常不等于零。5．同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有（）。A．r0，b0B.r0，b0C．r0，b0D.r与b的符号毫无关系答案：B[评析]本题考点：直线相关与回归的区别与联系的理解。因为对同一资料而言直线相关系数与回归系数的方向一致，若能同时计算b和r,它们的符号一致。因此，同一双变量资料，进行直线相关与回归分析，有r0，b0。四、习题（一）单项选择题1．下列()式可出现负值。A．∑（X—X）2B．∑Y2—（∑Y）2/nC．∑(Y—Y)2D．∑（X—X）（Y—Y）2．Y=14+4X是1~7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重换成国际单位kg，则此方程()。A．截距改变B．回归系数改变C．两者都改变D．两者都不改变3．已知r=1，则一定有()。A．b=1B．a=1C．SY.X=0D．SY.X=SY4．用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点()。A．距直线的纵向距离相等B．距直线的纵向距离的平方和最小C．与直线的垂直距离相等D．与直线的垂直距离的平方和最小5．直线回归分析中，X的影响被扣除后，Y方面的变异可用指标()表示。A．,2()(2)xyXXSnB.2()(1)rYYSnC.,2()(2)yxYYSnD.2bxyXXSS6．直线回归系数假设检验，其自由度为()。A．nB．n－1C．n－2D．2n－17．应变量Y的离均差平方和划分，可出现()。A．SS剩=SS回B．SS总=SS剩C．SS总=SS回D．以上均可8．下列计算SS剩的公式不正确的是()。A．YYXYllbB．YYXXlblC.2YYXYXXlllD．2(1)YYrl9．直线相关系数可用()计算。A．YYXXXYlllB．YYXXYXllbC．XYYXbbD．以上均可10．当r=0时，bXaYˆ回归方程中有()。A．a必大于零B.a必等于XC．a必等于零D.a必等于Y（二）名词解释1.直线回归2.回归系数3.剩余平方和4.回归平方和5.直线相关6.零相关7.相关系数8.决定系数9.曲线直线化10.秩相关（三）是非题1．剩余平方和SS剩1=SS剩2，则r1必然等于r2。2．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。3．两变量关系越密切r值越大。（四）简答题1．用什么方法考察回归直线图示是否正确？2．剩余标准差的意义和用途？3．某资料n=100，X与Y的相关系数为r=0.1，可否认为X与Y有较密切的相关关系？4．r与rs的应用条件有何不同？5．应用直线回归和相关分析时应注意哪些问题？6．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？7．直线回归分析时怎样确定因变量与自变量？（五）计算题1．10名20岁男青年身高与前臂长的数据见表10-2。⑴计算相关系数并对ρ=0进行假设检验；⑵计算总体ρ的95%可信区间。表10-210名20岁男青年身高与前臂长身高（cm）170173160155173188178183180165前臂长（cm）454244414750474649432．某单位研究代乳粉营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和增加体重的数据见表10-3。⑴此资料有无可疑的异常点？⑵求直线回归方程并对回归系数作假设检验。⑶试估计进食量为900g时，大白鼠的体重平均增加多少，计算其95%的可信区间，并说明其含义。⑷求进食量为900g时，个体Y值的95%容许区间，并解释其意义。表10-3八只大白鼠的进食量和体重增加量鼠号12345678进食量（g）800780720867690787934750增量（g）1851581301801341671861333．某省卫生防疫站对八个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并（a）芘进行监测，结果如下，试检验两者有无相关？表10-4八个城市的肺癌标化死亡率和大气中苯并（a）芘浓度城市编号12345678肺癌标化死亡率（1/10万）5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.10苯并（a）芘（μg/100m3）0.051.171.050.100.750.500.651.204．就下表资料分析血小板和出血症的关系。表10-512例病人的血小板浓度和出血症的关系病例号123456789101112血小板数（109/L）12013016031042054074010601260123014402000出血症状+++++±－++－－－－++－五、习题答题要点（一）单项选择题1.D2.C3.C4.B5.C6.C7.D8.B9.D10.D（二）名词解释1．直线回归（linearregression）建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simpleregression）。2．回归系数（regressioncoefficient）即直线的斜率(slope)，在直线回归方程中用b表示，b的统计意义为X每增（减）一个单位时，Y平均改变b个单位。3．剩余平方和（residualsumofsquares），SS剩即2ˆYY，它反映X对Y的线性影响之外的一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和中无法用X解释的部分。在散点图中，各实测点离回归直线越近，2ˆYY也就越小，说明直线回归的估计误差越小。4．回归平方和（regressionsumofsquares），SS回即2ˆYY，它反映由于X与Y的直线关系而使Y的总变异所减小的部分，也就是在总平方和中可以用X解释的部分。回归平方和越大，说明回归效果越好。5．直线相关（linearcorrelation）又称简单相关（simplecorrelation），用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。6．零相关（zerrocorrelation）是指两变量间没有直线相关关系。11．相关系数又称积差相关系数（coefficientofproduct-momentcorrelation），以符号r表示样本相关系数，ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个