统计热力学(班)第一章电科

统计热力学数理基地：98级00.8.21—；99级01.8.27—；00级02.8.27—；01级03.8.26—；电科：03级05.09.13-;参考书目：见书后附录。主要参考书：汪志诚：《热力学·统计物理》。王竹溪：《热力学简程》、《统计物理导论》。梁希侠、班士良：《统计热力学》考试方法：考试成绩：80%；作业成绩20%（分为四等）；对象：大量粒子组成的系统，如粒子数密度，气体为1019/cm3，金属1023~24/cm3。目的：有关热现象的基本规律。方法：热力学——唯象，统计物理——微观。本书特色：贯彻统计物理为主线，系综理论为纲。内容分为A,B,C,本章内容全部为A。第一章引论（Introduction）§1-1粒子微观状态的描述（Descriptionofmicroscopicstates）1．自由粒子（Freeparticles）2．线性谐振子（Linearharmonicoscillators）3．电子的自旋（Spinsofelectrons）4．经典极限（Classicallimit）5．经典粒子微观状态与μ空间体积元的对应关系（Correspondingrelationbetweenmicroscopicstatesofclassicalparticlesandvolumeelementsinμspace）19、20世纪交替时，牛顿力学在解释黑体辐射与固体低温比热时，遇到不可跨越的困难，需建立新的力学框架——量子力学，其基本原理如下：Dualityofwave—particleforamicro-particle1924年提出了deBroglieRelation①；kpUncertaintyrelation②；结论之一为动量与坐标不可同时确定，即：hxpx~，或2h为planck常数，在量子力学中粒子的微观状态由一组量子数描述，量子数之数目等于粒子的自由度数。1．自由粒子：如理想气体分子，金属中的电子。一维：由周期性边界条件xnL，,2,1,0xn。其中xn描述状态，则Lnkxx22,xxnp22，有LpLxx2~,~，hpxx~，故一个态在xpx平面占据的面积为h，能量的可能值称为Energylevel。特点：能级分立2222222Lnmmpxxnz，能级间距222122Lnmxnx若一个能级的状态不止一个时，称为Degeneracy，状态数为简并度，上述能级为二度简并。三维：,1,0,..2iiinzyxinLp能级222222222Lnnnmmpzyxzxiin状态由)..(zyxini三个量子数描述，能级简并较复杂，如：iin12能级，简并度为6。2．线性谐振子：如双原子分子的相对振动，晶格振动一维：由一个量子数n描述状态，能量可能值,2,1,0)21(nnn能级间距：bnnn1，特点：等间距，无简并。3．电子的自旋③：通过Stern-Gerlach实验验证。RealorbitpointsNSExpectedorbitHatsstatez设：如图z向磁场，s态H的轨道分为二条。说明：H有Internal磁矩（Spin），cosBB1925年Uhlenbeck解释：其自旋角动量S在z或任意方向投影为zS，且zznS2，zn自旋量子数。自旋磁矩Sme能级BmeBnmeBze2即：电子自旋为一个自由度，无磁场时为二度简并，量子数为2/1，为量子效应（第一次课）。4．经典极限当0时，仅有粒子性，状态确定，由动量和坐标描述。设粒子自由度为r，r个广义坐标：)(,,,21qqqqz动量：)(,,,21ppppz状态与),(pq一一对应，),(pq，由pq,构成r2维空间，称为空间，或分子空间，其中一点为代表点，代表点状态。状态变化，代表点形成——轨道。一维自由粒子：状态由xmpxx,描述，满足0,0xpxLx，mpx22。特点，能量连续，空间为二维，能量给定的状态在空间为一直线。三维自由粒子：zxiimp22对于给定动量的状态，在空间为5维“曲面”。线性谐振子：2222212)(2xmmpxvmpq，空间为二维。上式可写成122222mxmp给定能量状态在空间为一椭圆，长、短半轴分别为22,2mm。图略。5．经典粒子微观状态与空间体积元的对应关系对于自由度为r的粒子，由不确定原理：广义坐标和广义动量的不确定范围为rrrhqqpp11，此时，状态连续变化，为统计状态数，可做半经典近似，即：空间体积元l中微观状态数为：rrlrllrrlhqqpphh111一个三维自由粒子在动量间隔iiidppp，坐标间隔)..(zyxidiii内的微观状态数为：zyxppphzyxdddddd13在体积V中，pppd内可能的微观状态数为zyxLzyxppphYdxdydzppphdddddd1303在V内pppd范围内可能的微观状态数为ppDpphVpphVd)(d4ddsind2320023)(pD称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需在上面各式上乘2。作业：1.1。问题讨论：1．量子力学对粒子运动状态描写的特点？2．边界条件的选定对粒子物理的影响？3．什么是“半经典”近似？§1-2系统微观状态的描述（DescriptionofMicroscopicStatesofSystems）1．全粒子组成的系统（Systemsconsistingofidenticalparticles）2．量子情形（QuantumCase）3．经典情形（Classicalcase）统计物理的目的：由微观量求宏观量，而宏观量与系统的微观状态数有关。每个单粒子各有一个可能的微观状态之总和，构成系统的一个可能的微观状态。1．全同粒子组成的系统全同粒子组成的系统遵从全同性原理，即粒子不可分辨④。我们讨论近独立粒子组成的系统，即NiiE，强调相互作用弱、经充分长时间后系统处于平衡态。2．量子情形：（1）玻色子（Boson）（系统）：自旋量子数为整数，如光子（量子数为1），遵从全同性原理，交换任何两粒子构成系统新的微观状态，任一单粒子态对填充的粒子数无限制。（2）费米子（Fermion）：自旋为半整数，如电子，遵从全同性原理和泡利不相容原理；任一单粒子态最多只能被一个粒子占据。（3）定域子系统（Localizedparticle）：为Boltzmann系统，粒子可分辨，即经典情形。例1：一个二粒子系统，单粒子态有三个系统状态BosonFermionBoltzmann123123123AAAABAAAABAAAABAAABAABAAAABBAABBA6393．经典情形：粒子运动为轨道性的，可分辨，设一N粒子系统，每粒子自由度为r，r个q，r个p组成空间。一个点代表单粒子的一个态，系统的一个微观态由空间N个点表示。还可由rN个q和rN个p构成rN2维空间，称为Γ空间或相空间。系统的一个微观态由Γ空间的一个点（代表点Representativepoints）表示。代表点系统的微观态。状态的变化对应于Γ空间代表点运动形成的一条轨道。由于点无面积，状态不可数，可采用半经典近似，即粒子一个态在空间占体积rh系统一个态在Γ空间占体积Nrh若已知代表点允许的空间体积，可计算出微观态数。问题：1．半经典近似的根据是什么？一个状态在Γ,空间占据的体积由何得出？2．三种系统的特点是什么？3．我们用到的量子力学基本原理有几个，是什么？（见前面①④）§1-3统计物理中的几个数学问题（SeveralMathematicalProblemsinStatisticalPhysics）1．Basicconceptsaboutprobability2．Permutations&combinations3．Stirlingformula4．Severaldefiniteintegrals1.（1）事件(Events)随机事件Random～互斥事件Exclusive～，Stochastic～，独立事件Independent～，必然事件Inevitable～。（2）几率(Probability)随机事件i出现的几率iP满足NNPiNilimN为观察次数，0N为i出现的次数。性质：（Ⅰ）10iP；（Ⅱ）相加性，互斥事件ji,，i或j出现的几率为jijiPPP；（Ⅲ）归一性Normalization；全部互斥事件之和为必然事件，几率和归一:1iiP；（Ⅳ）相乘性，独立事件ji,同时出现的几率满足相乘性jijiPPP（3）随机变量（Variable）：若对事件赋值，则构成变量。随机事件赋值后构成随机变量，分为离散性（discrete）和连续性（continuous）两种。如前所述，几率为离散型的。考虑与三维空间坐标一一对应的连续随机变量。事件在)dddd(dzyxrrrr。体积元中出现的几率为rdr)(，)(r为几率密度。可知（Ⅰ）为1d)(0rr（Ⅲ）为1d)(rr（Ⅱ）、（Ⅳ）学生自己推广。（4）统计平均（Statisticalaverage）设物理量u为随机变量x的函数离散型,3,2,1ix几率为iP，则，u=iiiPu连续型)(rx，则，rrruud)()(rrd)(为几率密度。（5）统计独立性（Independentpropertyofstatistics），设i为第一组事件（互斥）,,,2,1i中的某一事件；j为第二组事件（互斥）,,,2,1j中的某一事件；第一组与第二组相互独立，则jijijjiPPPP即事件i出现的几率与第二组事件存在与否无关，称为～。连续型见书。若u的可能取值为,,,1iuu几率iP，若v的可能取值为,,,1ivv几率iP，则vuuv，连续型见书。（6）涨落（Fluctuation）绝对（Absolute）涨落2)(uu，相对（Relative）涨落1)()()(2222uuuuu2．排列与组合（自阅）。3．Stirling公式：N为大数时)1(ln!lnNNN4．几个定积分（自阅）记忆：xexd2作业：1.2，1.3,1.4,1.5问题讨论：1.何为统计独立性？§1-4分布和微观状态（Distribution&MicroscopicStates）1.BoseSystems2.FermiSystems3.BoltzmannSystems4.Classicallimit由于全同性原理，不能确定粒子所处的状态，只能讨论粒子可能的量子态分布和对应的微观状态数。引入宏观态和微观态的概念。孤立系（IsolatedSystems）：与外界既无能量又无粒子交换的系统为～。考虑近独立粒子组成的系统，设给定的宏观条件为VEN,,确定，即为孤立系。分布为粒子占据状态或能级的方式。设粒子能级为,,,,21l，简并度为,,,,21l；粒子数为,21,,,laaa，la称为分布，下面讨论对于给定的分布la时，系统的微观状态数。1．玻色系统：用□表示状态，○表示粒子，先认为□和○可编号，然后去掉由此带来的重复，先考查l能级，将□和○排成一排。□○○□○○○□○□……可能的占据方式数为lllllWaa!)!1()!1(对于给定的分布la，系统的微观状态数为lllllllBWaaW!)!1()!1(2．费米系统：对l能级_______________l个态，要求lla（Pauli不相容原理）l