绵阳南山中学2014届高三下期入学考试(文数)

2014年2月南山中学2014届高三下学期入学考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3.若a，b是两个单位向量，则“543ba”是“ba”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数xxxf1)13ln()(的定义域是A.),31(B.)1,31(C.)1,31[D.)31,(5.已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x的值的个数是A.4B.3C.2D.16.设等差数列}{na的公差为d，若7654321,,,,,,aaaaaaa的方差为1，则d等于A.21B.1C.21D.±17.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为A.94B.31C.21D.528.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若m，，则m；②若//，m，则m//；③若n，n，m，则m；④若，，m，则m．其中正确命题的序号是A.①③B.①②C.③④D.②③9.设12,FF分别是椭圆的左、右焦点，与直线by相切的⊙2F交椭圆于点E，且点E是直线1EF与⊙2F的切点，则椭圆的离心率为A.23B．33C．45D．3510.已知定义在[1，+∞）上的函数)2(211284)(xfxxf)2()21(xx，则A．函数)(xf的值域为[1，4]；B．关于x的方程021)(nxf（n∈N*）有42n个不相等的实数根;C．当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数)(xf的图象与x轴围成的面积为2;D．存在实数0x，使得不等式6)(00xfx成立第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为．12.已知直线0cbyax与圆O：122yx相交于A，B两点，且3||AB，则OBOA的值是__________。13.已知x、y满足条件,022,0yyxx，则21xyu的取值范围是_________。三．解答题：本大题共6小题，共75分．其中，16—19题每小题满分为12分，20题为13分，21题14分；解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．16.等差数列}{na的各项均为正数，31a，前n项和为nS；}{nb为等比数列，11b,且6422Sb，96055Sb.（Ⅰ）求通项公式na与nb；(Ⅱ)求nSSS1112117.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；(Ⅱ)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．18.已知函数xcxbaxf2cos2sin)(的图像经过点A（0，1）、)1,4(B。（Ⅰ）当1a时，求函数)(xf的单调增区间；(Ⅱ)已知]4,0[x，且)(xf的最大值为122，求)24(f的值。19．如图，在直三棱柱111CBAABC中，3,11AAACAB,60ABC（Ⅰ）证明：CAAB1;(Ⅱ)求直线1BC与平面11AACC所成角的正切值。（Ⅲ）求点A到平面BCA1的距离。ABC1A1C1BA20.已知椭圆C：12222byax（0ba）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足MBMA．求证：222211OMOBOA为定值．21.已知函数211()2fxx，2()lnfxax（其中0a）．（Ⅰ）求函数12()()()fxfxfx的极值；（Ⅱ）若函数12()()()(1)gxfxfxax在区间1(,e)e内有两个零点，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x时，231ln04exxx．（说明：e是自然对数的底数，e=2.71828…）绵阳南山中学2014年春季高2011级二月月考文科数学试题参考答案一.选择题题号12345678910答案ABCBBCADDC得到：当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，可得：，故D不正确．综上可知：只有C正确．故选C．二．填空题11.24+12π12.2113.]1,41[14.315.),23[三．解答题16.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有S2b2＝＋dq＝64，S3b3＝＋3dq2＝960，解得d＝2，q＝8或d＝－65，q＝403.(舍去)……4分故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.………………………6分(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，…………8分所以1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2…10分＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－)2)(1(232nnn………………………12分17.解：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.………3分(2)估计平均分为x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.………6分(3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．………7分∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；………8分设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15种．则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种．………11分∴P(A)＝915＝35.………12分18.解：（1）由,1)4(,1)0(ff得：,1,1baca即xaxfacb2sin()1(2)(,1a)4。,1a当)(224222Zkkxk，即kkxk(883Z）时，)(xf为增函数。∴函数)(xf的单调增区间为)](8,83[Zkkk。………6分（2）]43,4[42],4,0[xx，即有]1,22[)42sin(x。当01a，即1a时，122)1(2)(maxaaxf，得1a；当01a，即1a时，12222)1(2)(maxaaxf，无解；当01a，即1a时，122)(maxaxf，矛盾。故1612322)24(,1)42sin(22)(fxxf。………12分19.（1）证明：∵ABC中，3,1ACAB,60ABC，∴由正弦定理有ACBsin160sin3，∴21sinACB，又ACAB，∴30ACB。从而90BAC，即ACAB,又直三棱柱111CBAABC中，1AA平面ABC，∴1AAAB，∴AB平面11AACC,∴CAAB1………4分（2）∵AB平面11AACC,∴直线1BC与平面11AACC所成的角为ABC1，在ABCRt1中AB=1,62121AAACAC,∴66tan11ACABABC………8分(3)(略)（利用等积变换）515………12分20.解：（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．………4分（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=．………6分同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．………8分②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，………10分同理，………11分所以=2×+=2，故=2为定值．………13分21.解：（Ⅰ）2121()()()ln2fxfxfxaxx，∴11()ln(2ln1)22fxaxxaxaxx（0x，0a），由()0fx，得12ex，由()0fx，得120ex，故函数()fx在12(0,e)上单调递减，在12(e,)上单调递增，所以函数()fx的极小值为12(e)4eaf，无极大值．········4分（Ⅱ）函数21()ln(1)2gxxaxax，则2(1)()(1)axaxagxxaxx()(1)xaxx，令()0gx，∵0a，解得1x，或xa（舍去），当01x时，()0gx，()gx在(0,1)上单调递减；当1x时，()0gx，()gx在(1,)上单调递增．函数()gx在区间1(,e)e内有两个零点，只需1()0,e(1)0,(e)0,ggg即22110,2ee110,2e(1)e0,2aaaaa∴222e1,2e2e1,22ee,2e2aaa故实数a的取值范围是22e11(,)2e2e2．··············9分（Ⅲ）问题等价于223lne4xxxx．由（Ⅰ）知2()lnfxxx的最小值为12e．设23()e4xxhx，(2)()exxxhx得()hx在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减．∴max243()(2)e4hxh，∵2143()2ee4231442ee=2223e2e16(3e8)(e2)04e4e，∴minmax()()fxhx，∴223lne4xxxx，故当0x时，231ln04exxx．14分