习题课5

1.设随机变量X的分布列为其中是未知参数，利用总体的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值。02考研210解：矩法第六章参数估计21)1(2321022PX43)(XE41ˆ)(XEx2x令最大似然法4222)21()1(2)(L0)21)(1(24286)(2ddL解出12137故12137ˆ2.设总体X服从均匀分布，密度函数为elsexxp021211)(是未知参数，是X的一个样本，求的最大似然估计。nxxx,,,21解：似然函数elsexLi021211)(由于)1()(21,21xxn所以2121)1()(xxn故只要满足的任何统计量21),,,(21)1(21)(xxxxgxnn),,,(21nxxxg都是的最大似然估计量注：最大似然估计可能不唯一3.甲乙二人独立地校对一本书的校样，各发现了和个错误，其中有个错误是相同的，且，试给出印样错误个数的矩估计。1k1k12k012k解：设印样中共有n个错误，每一个错误处甲乙能发现的概率分别为，则甲发现的错误数，乙发现的错误数21,pp),(~1pnbX),(~2pnbY设一个错误甲乙都能发现的概率为用Z表示甲乙共同发现的,12p2112ppp错误个数，则),(~12pnbZ且由独立性，知因2121)(,)(,)(pnpZEnpYEnpXE故)()()(ZEYEXEn题目中甲乙只做了一次校对，相当于对X,Y,Z都取了一个容量为1的样本，是样本观测值，则1211,,kkk1211,,kzkykx因此1221ˆkkkzyxnniiixnn1)1(2ˆ5.设是取自总体X的样本，nxxx,,,21,)(,)(2VVarXE试证是的无偏估计和相合估计。提示：用定理6.2.1证明相合性4.均匀分布的最大似然估计NNNNNX111121~拓展：设总体，求N的MLE注：二战中曾用于估计敌方军火产量6.设有来自正态总体的容量为9的样本，样本均值)9.0,(~2NX,5x求参数的0.95置信区间。96考研7.某厂生产的瓶装饮料的体积服从正态分布，抽取10瓶，测得体积为595，602，610，585，618，615，605，620，600，606求出方差的0.95置信区间。注：正态枢轴量注：卡方枢轴量8.为了比较甲乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田9块，乙类试验田10块，测得亩产量如下：甲类：510，628，583，615，554，612，530，525乙类：433，535，398，470，560，567，498，480，503，426假定两类田的亩产量都服从正态分布，且方差相同，求均值差的0.95置信区间.21注：合并样本方差与t枢轴量第七章假设检验1.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试中全体考生的平均成绩为70分？98考研2.测得两批小学生的身高为第一批(x):140,138,143,142,144,137,141第二批(y):135,140,142,136,138,140设这两个总体服从正态分布且两样本独立，试判断),(),,(222211NN这两批学生的身高是否相等)10.0(注：题目要求判断两正态总体均值是否相等，但两总体的方差齐一性未知，故先用F检验判断齐一性，若通过了齐一性检验，再用两样本t检验。3.在猜硬币正反面的游戏中，某人在100次中猜中60次，你认为他是否有诀窍？解：可以归纳为如下假设检验问题:21:21:00pHvspH取用X表示100次中猜中的次数，则,05.0),100(~pbX由于样本容量相当大，统计量5.05.01005.0100Xz近似服从)1,0(N因此02275.0)2()60(ZPXP因P值小于显著性水平，故应拒绝原假设，认为该人有诀窍。4.设取80个观测值，其落入的频数,4,3,2,1,441iixixAiiA分别为6，18，20，36.问在水平下，能否认为总体密度01.0为elsexxxp0102)(解：可将（0，1）区间划分为：]1,43(],43,21(],21,41(],41,0(根据题目给出的密度函数，计算出167)(,165)(163)(,161)(44332211APpAPpAPpAPp8286.1)(122riiiinpnpn进而得到而345.11)3(299.0因，故接受原假设345.118286.1