4粗糙集与数据约简

智能信息处理技术华北电力大学第4章粗糙集与数据约简不确定性理论1粗糙集的基本理论与方法2知识的约简3决策表的约简4粗糙集数据约简的具体实现与应用5粗糙集的研究现状与展望64.1、不确定性理论自然界和人类的社会活动的各种现象：确定性现象和不确定性现象。确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象。不确定性的分类：随机性：因为事物的因果关系不确定，从而导致事件发生的结果不确定性。用概率来度量。概率表示事件发生可能性的大小。概率论的运用是从随机性中去把握广义的因果律——概率规律。模糊性：因为事件在质上没有明确的含义，在量上没有明确的界限，导致事件呈现“亦此亦彼”的性态，是事物类属的不确定性，用隶属度来度量。隶属度表示事物多大程度属于某个分类。模糊集合论的运用从模糊性中去确立广义的排中律——隶属规律。粗糙性：因为描述事件的知识（或信息）不充分、不完全，导致事件间的不可分辨性。粗糙集把那些不可分辨的事件都归属一个边界域。因此，粗糙集中的不确定性是基于一种边界的概念，当边界域为一空集时，则问题变为确定性的。4.1、不确定性理论经典集合、模糊集合、粗糙集的关系经典集合认为一个集合完全有其元素所决定，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合。其隶属函数μX(x)∊{0,1}是二值逻辑。模糊集合认为事物具有中介过渡性质，而非突然改变，集合中每一个元素的隶属函数μX(x)∊[0,1]，即在闭区间[0,1]可以任意取值，隶属函数可以是连续光滑的，因此模糊集合对不确定信息的刻划是精细而充分的。但隶属函数不可计算，凭人的主观经验给定。粗糙集合把用于分类的知识引入集合。一个元素x是否属于集合X，需要根据现有知识来判定，可分为三个情况：①x肯定不属于X；②x肯定属于X；③x可能属于也可能不属于X。到达属于哪种情况依赖于我们所掌握的关于论域的知识。粗糙集的隶属函数为阶梯状，对不确定性信息的描述是粗糙的，但粗糙隶属函数是可计算的。粗糙集主要用于对信息系统进行约简和分类。1.00.80.60.40.20.00.20.40.60.81.0第4章粗糙集与数据约简粗糙集的基本理论与方法2不确定性理论1知识的约简3决策表的约简4粗糙集数据约简的具体实现与应用5粗糙集的研究现状与展望64.2粗糙集的基本理论与方法粗糙集的基本概念1粗糙集的基本思想2粗糙集的基本特点34.2.1、粗糙集的基本概念知识与分类在粗糙集理论中，知识被认为是一种分类能力。人们的行为基本是分辨现实的或抽象的对象的能力。假定我们起初对论域内的对象（或称元素、样本、个体）已具有必要的信息或知识，通过这些知识能够将其划分到不同的类别。若我们对两个对象具有相同的信息，则它们是不可区分的，即根据已有的信息不能将其划分开。粗糙集理论的核心是等价关系，通常用等价关系替代分类，根据这个等价关系划分样本集合为等价类。从知识库的观点看，每个等价类被称为一个概念，即一条知识（规则)。即，每个等价类唯一地表示了一个概念，属于一个等价类的不同对象对该概念是不可区分的。4.2.1、粗糙集的基本概念知识表达系统一个知识表达系统或信息系统S可以表示为有序四元组S={U,R,V,f}其中，U={x1,x2,…,xn}为论域，它是全体样本的集合；R＝C∪D为属性集合，其中子集C是条件属性集，反映对象的特征，D为决策属性集，反映对象的类别；为属性值的集合，Vr表示属性r的取值范围；f:U×R→V为一个信息函数，用于确定U中每一个对象x的属性值，即任一xi∊U，r∊R，则f(xi,r)=VrRrrVV属性对象条件属性C决策属性D头疼r1肌肉疼r2体温r3流感x1是是正常否x2是是高是x3是是很高是x4否是正常否x5否否高否x6否是很高是4.2.1、粗糙集的基本概念不可分辨关系在粗糙集中，论域U中的对象可用多种信息（知识）来描述。当两个不同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在该系统中被归于同一类，它们的关系称之为不可分辨关系。即对于任一属性子集B⊆R，如果对象xi,xj∊U，∀r∊B，当且仅当f(xi,r)=f(xj,r)时，xi和xj是不可分辨的，简记为Ind(B)。不可分辨关系称为等价关系。例如：只用黑白两种颜色把空间中的一些物体划分成两类：{黑色物体}、{白色物体}，那么同为黑色的物体就是不可分辨的，因为描述它们特征属性的信息是相同的，都是黑色。如果引入方、圆的属性，可将物体进一步划分为4类：{黑色方物体}、{黑色圆物体}、{白色方物体}、{白色圆物体}。这时，如果有两个同为黑色方物体，则它们还是不可分辨的。不可分辨关系这一概念在RS中十分重要，它反映了我们对世界观察的不精确性。另一方面，不可分辨关系反映了论域知识的颗粒性。知识库中的知识越多，知识的颗粒度就越小，随着新知识不断加入到知识库中，粒度会不断减小，直致将每个对象区分开来。但知识库中的知识粒度越小，则导致信息量增大，存储知识库的费用越高。4.2.1、粗糙集的基本概念基本集合由论域中相互不可分辨的对象组成的集合称之为基本集合，它是组成论域知识的颗粒。例如：考虑条件属性：头疼和肌肉疼。对于x1,x2,x3这三个对象是不可分辨的。x4,x6在这两个属性上也是不可分辨的。由此构成的不可分辨集{x1,x2,x3},{x4,x6},{x5}被称为基本集合。设论域U为有限集，R是U的等价关系簇，则K={U,R}称为知识库，知识库的知识粒度由不可分辨关系Ind(R)的等价类反映。属性对象条件属性C决策属性D头疼r1肌肉疼r2体温r3流感x1是是正常否x2是是高是x3是是很高是x4否是正常否x5否否高否x6否是很高是4.2.1、粗糙集的基本概念下近似集和上近似集下近似集：根据现有知识R，判断U中所有肯定属于集合X的对象所组成的集合，即R-(X)={x∊U,[x]R⊆X}其中，[x]R表示等价关系R下包含元素x的等价类。上近似集：根据现有知识R，判断U中一定属于和可能属于集合X的对象所组成的集合，即R－(X)={x∊U,[x]R∩X≠φ}其中，[x]R表示等价关系R下包含元素x的等价类。给定知识表达系统S={U,R,V,f}，对于每个样本子集X⊆U和等价关系R，所有包含于X的基本集的并（逻辑和）为R-(X)；所有与X的交(逻辑积)不为空集的基本集的并为R－(X)。4.2.1、粗糙集的基本概念正域、负域和边界域正域：Pos(X)=R-(X)，即根据知识R，U中能完全确定地归入集合X的元素的集合。负域：Neg(X)=U-R-(X)，即根据知识R，U中不能确定一定属于集合X的元素的集，它们是属于X的补集。边界域：Bnd(X)=R-(X)-R-(X)，边界域是某种意义上论域的不确定域，根据知识R，U中既不是肯定归入集合X，又不能肯定归入集合~X，的元素构成的集合。边界域为集合X的上近似与下近似之差，如果Bnd(X)是空集，则称集合X关于R是清晰的；反之，如果Bnd(X)不是空集，则称集合X为关于R的粗糙集。因此，粗糙集中的“粗糙”（不确定性）主要体现在边界域的存在。集合X的边界域越大，其确定性程度就越小。4.2.1、粗糙集的基本概念粗糙度（近似精确度）对于知识R（即属性子集），样本子集X的不确定程度可以用粗糙度αR(X)来表示为αR(X)亦称近似精确度，式中Card表示集合的基数（集合中元素的个数）。0≤αR(X)≤1，如果αR(X)＝1，则称集合X相对于R是确定的，如果αR(X)1则称集合X相对于R是粗糙的，αR(X)可认为是在等价关系R下逼近集合X的精度。XRCardXRCardXR4.2.1、粗糙集的基本概念例：以医疗信息表为例，对于属性子集R={头疼,肌肉疼}={r1,r2},计算样本子集X={x1,x2,x5}的上近似集、下近似集、正域、边界域。解：①计算论域U的所有R基本集：U|Ind(R)={{x1,x2,x3},{x4,x6},{x5}}令R1={x1,x2,x3}R2={x4,x6}R3={x5}②确定样本子集X与基本集的关系X∩R1={x1,x2}≠φX∩R2=φX∩R3={x5}≠φ③计算R-(X)、R－(X)、Pos(X)、Bnd(X)：R-(X)=R3={x5}R－(X)=R1∪R3={x1,x2,x3,x5}Pos(X)=R-(X)={x5}Bnd(X)=R－(X)-R-(X)={x1,x2,x3}④计算近似精确度：属性对象条件属性C决策属性D头疼r1肌肉疼r2体温r3流感x1是是正常否x2是是高是x3是是很高是x4否是正常否x5否否高否x6否是很高是25.041XRCardXRCardXR4.2.1、粗糙集的基本概念例：右表是考生情况调查表，其中U为被调查对象，即论域；R为高考成绩(A－优，B－良，C－中，D－差)；X为升学情况(+为上，/为未上)。根据高考成绩和升学情况进行分类时：按成绩：U/R={{1,6},{2},{3,5},{4}}={Y1,Y2,Y3,Y4}按升学：U/X={{2,3,5,6},{1,4}}={X1,X2}分别计算出下近似集、上近似集、边界域和近似精度：R-(X1)=Y2∪Y3={2,3,5}R-(X2)=Y4={4}R-(X1)=Y2∪Y3∪Y1={2,3,5,6,1}R-(X2)=Y1∪Y4={4,6,1}Bnd(X1)=Y1={1,6}Bnd(X2)=Y1={1,6}αR(X1)=Card(R-(X1))/Card(R-(X1))=3/5αR(X2)=Card(R-(X2))/Card(R-(X2))=1/3URX1C/2B+3A+4D/5A+6C+根据ifRThenX根据ifRThenXR-(X1)高考成绩(A,B)一定(+)能上R-(X2)高考成绩(C,D)可能(/)不能上R-(X2)高考成绩(D)一定(/)不能上Bnd(X1)高考成绩(C)可能(+)也可能(/)R-(X1)高考成绩(A,B,C)可能(+)能上Bnd(X2)高考成绩(C)可能(+)也可能(/)4.2粗糙集的基本理论与方法粗糙集的基本思想2粗糙集的基本概念1粗糙集的基本特点34.2.2、粗糙集的基本思想RS的基本思想RS认为知识就是将论域中的对象进行分类的能力。对对象的认知程度取决于所拥有的知识的多少，知识越多，则分类能力越强。知识越少，则对象间的区分越模糊。在没有掌握所有关于对象域的知识的情况下，为了刻画模糊性，RS使用了一对称为下近似与上近似的精确概念来表示每个不精确概念，即使用一对逼近来描述对象域上的集合。下近似和上近似的差是一个边界集合，它包含了所有不能确切判定是否属于给定类的对象。这种处理可以定义近似的精确度，能够很好的近似分类，得到可以接受质量的分类。在RS中，论域中的对象可用多种知识来描述(通常描述为属性)。当两个不同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在系统中被归于同一类，它们的关系称之为不可分辨关系或等价关系。不可分辨关系是RS理论的基石，它反映了论域知识的颗粒性。影响分类能力的属性很多，不同的属性重要程度不同，其中某些属性起决定性作用；属性的取值不同对分类能力也会产生影响。RS理论提出知识的约简方法、在保留基本知识、对对象的分类能力不变的基础上，消除重复、冗余属性和属性值，实现了对知识的压缩和再提炼。4.2粗糙集的基本理论与方法粗糙集的基本特点3粗糙集的基本概念1粗糙集的基本思想24.2.3、粗糙集的基本特点RS的基本特点RS的基本方法是使用等价关系将集合中的元素(对象)进行分类，生成集合的某种划分，与等价关系相对应。根据等价关系的理论，同一分类(等价类)内的元素是不可分辨的，对信息的处理可以在等价类的粒度上进行，由此可以达到对信息进行简化的目的。RS是一种软计算方法，传统的知识处理是一种硬计算方法，使用精确、固定和不变的算法来表达和求解问题。而软计算方法则允许利用不精确性、不确定性和部分真实性以得到易于处理、鲁棒性强和低成本的解决方案。RS仅仅从数据本身进行分析，无需提供