概率论复习题及答案

1概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1.设,,ABC为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1),,ABC都不发生；(2),,ABC不都发生；(3),,ABC至少有一个发生；(4),,ABC至多有一个发生。解：(1)ABCABC(2)ABCABC(3)ABC(4)BCACAB2.设BA,为两相互独立的随机事件,4.0)(AP,6.0)(BP,求(),(),(|)PABPABPAB。解：()()()()()()()()0.76PABPAPBPABPAPBPAPB；()()()()0.16,(|)()0.4PABPABPAPBPABPA。3.设,AB互斥，()0.5PA，()0.9PAB，求(),()PBPAB。解：()()()0.4,()()0.5PBPABPAPABPA。4.设()0.5,()0.6,(|)0.5PAPBPAB，求(),()PABPAB。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,PABPBPABPABPAPBPAB()()()()0.2PABPABPAPAB。5.设,,ABC独立且()0.9,()0.8,()0.7,PAPBPC求()PABC。解：()1()1()1()()()0.994PABCPABCPABCPAPBPC。6.袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1)取到两个黄球的概率；(2)取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)24210215CPC；(2)1146210815CCPC。7.从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：1215310112CCPC。28.从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。解：10.80.820.321P。9.甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A“从甲袋中取出的是红球”，B“从乙袋中取出的是红球”，则：1312(),(),(|),(|),4425PAPAPBAPBA由全概率公式得：17()()(|)()(|)40PBPAPBAPAPBA。10.某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1)买到的一台微波炉是合格品的概率；(2)已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设321,,AAA分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,PAPAPAPBAPBAPBA由全概率公式得31()()(|)0.895iiiPBPAPBA；(2)1111()()(|)0.47595(|)()()0.895179PABPAPBAPABPBPB。二．一维随机变量及其数字特征1.已知X的概率密度函数1,02()0,kxxfxelse，求1,,2kPXEX。解：201()(1)221,2fxdxkxdxkk21211912216PXxdx，2012123EXxxdx。2.设)1.0,3(~BX，求2,{1}PXPX。解：2233{2}(0.1)(0.9)0.027,{1}1{0}10.90.271PXCPXPX。3.设三次独立随机试验中事件A出现的概率相同，已知事件A至少出现一次的概率为6437，求A在一次试验中出现的概率p。解：三次试验中A出现的次数),3(~pBX，由题意：3416437)1(1)1(101}1{33003ppppCXPXP。4.某种灯管的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,xfxxelse，(1)求{1500}PX；(2)任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。解：(1)2150010002{1500}3PXdxx；(2)设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则2~5,3YB，故54121232{2}1{0}{1}15333243PYPYPY。5.设~(,),1.6,1.28,XBnpEXDX求,np。解：1.6,(1)1.288,0.2EXnpDXnppnp。6.设~(2)X，求2{2},(23)PXEXX。解：2{2}13PXe，222(23)()232342437EXXEXEXEXDXEX。7.设]6,1[~UX，求24XP。解：1,16()70,xfxelse，73710)(24211424dxdxdxxfXP。8.设X服从)5,1(上的均匀分布，求方程210tXt有实根的概率。解：1,15()60,xfxelse，52211{0}{40}62PPXdx。9.设~[1,3]XU，求1,,EXDXEX。解：2311,13(31)111112,,(),ln32123220,xEXDXfxEdxXxelse。410.设某机器生产的螺丝长度~(10.05,0.0036)XN。规定长度在范围12.005.10内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.005.1012.005.10XPXP故螺丝不合格的概率为0456.09544.01。11.设)4,0(~NX，30002XY，求EY、DY及Y的分布。解：230003000,416,~(3000,16)EYEXDYDXYN。12.设X与Y独立，且),1,1(~NX),3,1(~NY求(2),(2)EXYDXY。解：(2)21,(2)47EXYEXEYDXYDXDY。13.设1~(4),~4,,0.6,2XYXYB求(32)DXY。解：(32)941225.6XYDXYDXDYDXDY。14.设]2,1[~UX，求XY的概率密度函数。解：}{)(yXPyYPyFY(1)当0y时，0)(yFY；(2)当10y时，ydxyFyyY3231)(；(3)当21y时，31310)(11ydxdxyFyyY；(4)当2y时，1)(yFY；故0,02,013()1,1231,2YyyyFyyyy，2,0131()(),1230,YYyfyFyyelse。三．二维随机变量及其数字特征1.已知),(YX的联合分布律为：5YX11250.10.4050.2a0.2(1)求a；(2)求0,1,{1|5}PXYPYX；(3)求YX,的边缘分布律；(4)求XY；(5)判断,XY是否独立。解：(1)0.1a;(2)0.3,0.2；(3):0.5,0.5;:0.3,0.5,0.2XY；(4)0,0.6,()0cov(,)0,0XYEXEYEXYXY；(5)0.10.40.20.1，不独立。2.已知),(YX的联合分布律为：XY1020a1916119b13且X与Y相互独立，求：(1)ba,的值；(2)}0{XYP；(3),XY的边缘分布律；(4),,,EXEYDXDY；(5)ZXY的分布律。解：(1)111296,1118993aabb;6(2)45{0}1{0}199PXYPXY；(3)11112:,,;:,63233XY；(4)22222251353222,,(),,,()6636339EXEXDXEXEXEYEYDYEYEY；(5)151{1},{0},{2}993PZPZPZ。3.已知),(YX的概率密度函数为(),02,01(,)0,cxyxyfxyelse，求：(1)常数c；(2)关于变量X的边缘概率密度函数)(xfX；(3))(YXE。解：(1)21200011(,)()23123fxydxdydxcxydycxdxcccc；(2)10111(),02()(,)3320,Xxydyxxfxfxydyelse；(3)916)(31),()()(10220dyyxdxdxdyyxfyxYXE。4.设),(YX的概率密度函数为：,01,0(,)0,Axyxyxfxyelse，(1)求A；(2)求(),()XYfxfy；(3)判断,XY是否独立；(4)求1,12PYPXY；(5)求cov(,)XY。解：(1)100188xAdxAxydyA；(2)3084,01()(,)0,xXxydyxxfxfxydyelse，71284(1),01()(,)0,yYxydxyyyfyfxydxelse；(3)(,)()()XYfxyfxfy,XY不独立；(4)13121154216PXxdx，1/2101186yyPXYdyxydx；(5)4844,,(),cov(,)()()()5159225EXEYEXYXYEXYEXEY。四．中心极限定理1.某种电器元件的寿命服从指数分布(0.01)E（单位：小时），现随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。解：设第i只电器元件的寿命为(1,2,,16),iXi则()100,()10000iiEXDX。令161iiXX，则1600,160000EXDX。由中心极限定理得16001920160019200.81(0.8)0.2119400160000XPXP。2.生产灯泡的合格率为8.0，记10000个灯泡中合格灯泡数为X，求(1))(XE与)(XD；(2)合格灯泡数在8040~7960之间的概率。解：(1)~(10000,0,8),()100000.88000,()100000.80.21600XBEXDX；(2)由中心极限定理得)1()1(4080008040408000408000796080407960XpXP6826.01)1(2。3.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于m3，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于m3的概率是多少？解：设这100根木柱中短于3m的个数为X，则~(100,0.2),1000.220,1000.20.816XBEXDX；由中心极限定理得3020302.51(2.5)0.006216XEXPXPDX。4.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有0.05的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于9.0的概率保证每个分8机要使用外线时可