3.1.3空间向量的数量积70458

空间向量的数量积运算一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使baobba//),(,ba推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量a叫做直线的方向向量.llaaOABPa若P为A,B中点,则12OPOAOB2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,Pxaybp,abOMabABAPp推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有MPxMAyMBOPOMxMAyMB注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则AOB平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作ba即cos||||baba并规定00a教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义abbaba,,,0＝被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,OABaabb2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,,,cos,,,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3）射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影，简称或在上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是，和轴＝已知向量BAleA1B1注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。ABAB4)空间向量的数量积性质aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：,ab5)空间向量的数量积满足的运算律注意：分配律））交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()cbacba（二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnll要证l与g垂直，只需证l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn要证l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝0三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥nmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥例2：已知：在空间四边形OABC中,OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥ABACOBCBOA，证明：由已知ABCO0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC所以巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理aAOP.,0,,,,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,,例3如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，，如果，求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解：由，可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab22CDabbabCABD'D例4已知在平行六面体中，,,求对角线的长。ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'解：ACABADAA22222222||()||||||2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA||85AC1.已知线段、在平面内，，线段，如果，求、之间的距离.ABBDBDABAC,,ABaBDbACcCDcabCABD解：∵22222222||()||||||CDCAABBDCAABBDabc222CDabc2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为MNMAADDN所以222()1110244ABMNABMAADDNABMAABADABDNaaaMNAB同理，MNCD3.已知空间四边形，求证：。,,OABCOBOCAOBAOCOABCOACB证明：∵()||||cos||||cos||||cos||||cos0OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOBOAOBOABC4.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。ABCDABCDCDDCOAOAOCDOD'C'B'A'DABC已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的数量积：ABCDaEFG、、ABADDC、、(1)(2)(3)ABACADDBGFAC；　　；　　；(4)(5)(6).EFBCFGBAGEGF；　　；　　GFEABCD作业讲评ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11.3）（计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对角线长都如图：已知空间四边形个人收集整理，仅供交流学习！个人收集整理，仅供交流学习！