高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题

1直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：L，范围0≤＜，若xl//轴或与x轴重合时，=00。2、斜率：k=tan与的关系：=0=0已知L上两点P1（x1,y1）0＜＜02kP2（x2,y2）=2不存在k=1212xxyy022当1x=2x时，=900，不存在。当0时，=arctank，＜0时，=+arctank3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含y轴和行平于y轴的直线①x轴：y=0点斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含y轴和平行于y轴的直线②y轴：x=0两点式P1(x1,y1)P2(x2,y2)121121xxxxyyyy不含坐标辆和平行于坐标轴的直线③平行于x轴：y=b截距式a、b1byax不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线④平行于y轴：x=a⑤过原点：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B不同时为0两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0）特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）（2）平行直线系：①y=kx+b，k为定值，b为参数。②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系（3）过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）6、三点共线的判定：①ACBCAB，②KAB=KBC，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系21、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行K1=k2且b1≠b2212121CCBBAA无解重合K1=k2且b1=b2212121CCBBAA有无数多解相交K1≠k22121BBAA有唯一解垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L1到L2的角为0，则12121tankkkk（121kk）3、夹角：12121tankkkk4、点到直线距离：2200BAcByAxd（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=02221BAccd②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±022BAd③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是0221CCBYAX5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称)2,2(1010YYXXP（2）点关于线的对称：设p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX轴)(bap、Y=-x)(abp、Y轴)(bap、X=m(m≠0))2(bamp、y=x)(abp、y=n(n≠0))2(bnap、一般方法：3如图：(思路1)设P点关于L的对称点为P0(x0,y0)则Kpp0﹡KL=－1P,P0中点满足L方程解出P0(x0,y0)（思路2）写出过P⊥L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。PyLP0x（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0关于点P（X0、Y0）的对称直线l：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0（4）直线关于直线对称①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x、y)=0关于x轴对称曲线是f(x、-y)=0关于y=x对称曲线是f(y、x)=0关于y轴对称曲线是f(-x、y)=0关于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是f(-x、-y)=0关于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0关于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划LY不等式表示的区域OXAX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。③先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：①标准方程22)(rbyax，c（a、b）为圆心，r为半径。②一般方程：022FEYDXyx，2,2EDC，2422FEDr当0422FED时，表示一个点。当0422FED时，不表示任何图形。4③参数方程：cosraxsinrby为参数以A（X1，Y1），B（X2，Y2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与r比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0相交、△＝0相切、△＜0相离②利用圆心c(a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：d＜r相交、d＝r相切d＞r相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆222ryx相切于点（x1、y1）的切线方程是211ryyxx与圆222)()(rbyax相切于点（x1、y1）的切成方程为：211))(())((rbybyaxax与圆022FEYDXyx相切于点（x1、y1）的切线是0)2()2(1111FyyExxDyyxx（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p0(x0，y0)是圆222)()(rbyax外一点22121)()(rbyax①设切点是p1(x1、y1)解方程组221010))(())((rbybyaxax先求出p1的坐标，再写切线的方程②设切线是)(00xxkyy即000ykxykx再由rkykxbka1200，求出k，再写出方程。（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）③已知斜率的切线方程：设bkxy（b待定），利用圆心到L距离为r，确定b。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系5①同心圆系：222)()(rbyax，（a、b为常数，r为参数）或：022FEYDXyx（D、E为常数，F为参数）②圆心在x轴：222)(ryax③圆心在y轴：222)(rbyx④过原点的圆系方程2222)()(babyax⑤过两圆0:111221FYEXDyxC和0:222222FYEXDyxC的交点的圆系方程为0(2222211122FYEXDyxFYEXDyx入（不含C2），其中入为参数若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为613124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如72224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02yx与02yx相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等．∴5252yxyx．∴两直线交角的平分线方程是03yx或03yx．又∵圆过点)5,0(A，∴圆心C只能在直线03yx上．设圆心)3,(ttC∵C到直线02yx的距离等于AC，∴22)53(532tttt．化简整理得0562tt．解得：1t或5t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx．8说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的