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三角化简求值测试题1．若sinα＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知πθ32π，则12＋1212＋12cosθ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．5．函数f(x)＝(sin2x＋12010sin2x)(cos2x＋12010cos2x)的最小值是________．6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tanα＋1tanα＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．11．2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________________.13．已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16.已知tanα＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC|2的值．18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.，，求角A。参考答案与解析1．若sinα＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：由于α∈(－π2，π2)，sinα＝35得cosα＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cosα－sinα)＝－210.2．已知πθ32π，则12＋1212＋12cosθ＝________.解析：∵πθ3π2，∴π2θ23π4，π4θ43π8.12＋1212＋12cosθ＝12＋12cos2θ2＝12－12cosθ2＝sinθ4.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin240°＝2cos50°2sin40°＝2.4．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________．解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π4)＋1≥1－2.5．函数f(x)＝(sin2x＋12010sin2x)(cos2x＋12010cos2x)的最小值是________．解析：f(x)＝(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1)20102sin2xcos2x＝20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋120102sin2xcos2x＝sin2xcos2x＋201120102sin2xcos2x－22010≥22010(2011－1)．6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322.7．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝9sin2α＋sin2α9sin2α－6sin2α＝103.8．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是解析：a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴acb.或a2＝1＋sin28°1＋12＝32，b2＝1＋sin32°1＋12＝32，c2＝32，∴acb.9.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析：原式＝4cos24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.10．若tanα＋1tanα＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．解析：由题意知，tanα＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tanα1＋tan2α＝35，cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210.11．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝12sin4x，所以T＝2π4＝π2.12．2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.13．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________________.解析：|a－2b|2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a－2b|＝3.14．已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：因为1－cos2αsinαcosα＝1，即1－1－tan2α1＋tan2α＝12×2tanα1＋tan2α，所以2tanα＝1，即tanα＝12，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tanα1＋tan(β－α)tanα＝－13－121－16＝－1.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，又α∈(π4，π2)，∴tanα＝43，sinα＝45，cosα＝35，(1)tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝43＋11－43＝－7.(2)cos2α＝2cos2α－1＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，cos(π3－2α)＝cosπ3cos2α＋sinπ3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750.16．已知tanα＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α的值．解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα，tanα＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α2cos2α＝2sinα＋cosα2cosα＝tanα＋12＝52.17．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点记C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，∠COA＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC|2的值．解：(1)∵A的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sinα＝45，cosα＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sinαcosα2cos2α＝4918.(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴cos∠COB＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310，∴|BC|2＝|OC|2＋|OB|2－2|OC|·|OB|cos∠COB＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.18．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求角A，C.(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.解：(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)，所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.故A＝π4，C＝π3.(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即a22＝c32，得a＝22，c＝23.