美国高中数学核心概念图

美国高中数学核心概念图人民教育出版社宋莉莉章建跃（通讯作者）王嵘华东师范大学数学系周丹摘要：数学核心概念的确立、组织和呈现方式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点。从美国数学课程标准中析出高中核心概念集，结合课程标准的解释性文件，以教科书内容结构为线索绘制核心概念图，探讨了美国数学课程、教材在构建核心概念体系上的主要特点，并对我国高中数学课程、教材建设提出建议。关键词：核心概念，概念图，高中数学，美国目前，数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的关注。围绕核心概念的研究有三个基本问题：（1）怎样的概念具有“核心”地位；（2）哪些是核心概念；（3）核心概念是如何组织和呈现的。对于问题（1），国际上已有许多研究成果，人民教育出版社中学数学室牵头的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题也进行了较深入的探讨。本文将以美国高中数学课程为例，讨论问题（2）和问题（3）。美国国家数学教师理事会（NCTM）2000年发布的《学校数学教育的原则和标准》[1]（下文简称《原则和标准》）明确提出了“数与运算”“代数”“几何”“度量”和“数据分析与概率”五个领域的内容标准，旨在设立面向所有学生的课程核心[2]。2009年，NCTM又出版了《高中数学的焦点：推理和数学意识》（FocusinHighSchoolMathematics:ReasoningandSenseMaking[3]），探讨了《原则和标准》中高中阶段内容的焦点，将推理和数学意识作为高中数学课程的核心，希望以此来贯穿高中阶段所有内容的学习和教学。本文在研究《原则和标准》中9～12年级的内容标准，参考《高中数学的焦点：推理和数学意识》（下文简称《高中焦点》）以及美国芝加哥大学编写的UCSMP（UniversityofChicagoSchoolMathematicsProject）系列教科书（此套教科书体现了《原则和标准》的各项标准和教育理念）的基础上，试图析出一个美国高中数学的“核心概念图”，并探讨美国数学课程、教材在处理核心概念上的特点，以期为我国高中数学的课程设置、教材建设提供有益的参考。一、美国高中数学核心概念集核心概念集是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系[4]，为了获得各领域的核心概念及其子概念，我们先对《原则和标准》中9～12年级五个领域的内容标准分别绘制了概念图，以明确概念之间的层次和联系。概念图（ConceptMap）是20世纪60年代美国康奈尔大学的诺瓦克(JosephD.Novak)教授等根据奥苏贝尔(DavidP.Ausubel)的有意义学习理论提出的一种教学策略，其基本思路是用节点代表概念，用连线表示概念间的联系。这样就实现了以科学命题的形式显示概念之间的意义联系，从而把所有的基本概念有机地联系起来（梁竹，2010）。我们按照下面的步骤绘制概念图：1.列举知识点。这里选取各领域中的基本知识作为绘制概念图的节点。（注：这里所说的“基本知识”内容很广泛，包括概念、技能和思想方法等，基本知识的维度也不同，如“复数”与“整数间的关系”两个维度的知识可能同时被析出。用于描述基本知识的关键词是标准当下界定的具体知识点，如“度量”标准中“应用‘逐次逼近’‘上下界’‘极限’等概念”，说明本学段的重点不在于认识这些概念本身，而是在度量情境中使用它们。）2.确定知识等级。根据知识的概括性和包容性确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的原则对知识进行分层。（注：每个知识点在概念图中只能出现一次。）3.建立层级连接。用线条将相关概念连接起来，这种连接可以是建立在同一模块间的连接，也可以是建立在不同模块间的交叉连接。连线类型一般为单向，表示同一模块概念间的上下位从属关系或概念间的相关关系，必要时在连线上用连接词标明概念之间的关系。在概念图中，我们规定领域名称（如图1中的“代数”）为“根”概念，属于第0层，与根概念直接连接的概念为第1层的概念。由于第1层的概念在概括性和包容性上是最高的，我们将其作为该领域的核心概念；与核心概念直接连接的概念，则看成由核心概念生长出的子概念。表1是完成上述步骤1、2而析出的五个领域的核心概念及其子概念集，我们将其作为美国高中数学核心概念集，它呈现了美国高中数学核心概念的纵向发展脉络。表1美国高中数学核心概念集领域核心概念子概念数与运算数很大的数，很小的数，数的表征数系有理数，无理数，复数，向量（注：作为系统），矩阵（注：作为系统）运算的意义乘、除、幂、求方根运算对数值的影响，矩阵的加法和乘法的性质与表征，向量的加法和乘法的性质与表征，排列、组合的意义运算与估算实数的运算，矩阵的运算，向量的运算，数字计算和答案的合理性代数函数关系和函数，函数的各种表征形式，函数的变换，函数的性质代数符号用符号代数表征和解释数学关系，代数表达式、方程、不等式及关系的等价形式和意义，评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性，解方程、不等式和方程组数学模型用函数建模，用迭代和递归符号表征关系，解释模型化的问题情境各种情境中的变化关系用图象和数字形式的数字逼近和理解变化率几何二维和三维几何图形二维和三维空间中物体的性质和特点，二维和三维空间中不同几何物体之间的关系，用三角关系式确定长度和角关于二维和三维空间中几何关系的数学推理提出假设，用演绎支持假设的可靠性，解决有关问题，判断他人的论据坐标系笛卡尔坐标系，其他坐标系变换平移变换，旋转变换，反射变换，伸缩变换，简单变换及其复合，用草图、坐标、向量、函数记号以及矩阵理解和表示描绘几何物体和几何模型二维和三维空间中几何物体的表示，使用几何模型，使用几何思想度量理解度量选择单位和比例尺度实施度量分析精密度、准确度和近似误差，运用面积公式、表面积公式和体积公式，应用“逐次逼近”“上下界”“极限”等概念，单位分析数据分析与概率提出用数据表达的问题理解各种研究之间的差别，明确研究的推论，了解经过良好设计的研究的特点收集、组织、展示数据度量数据、分类数据、单变量数据、多变量数据、变量，直方图、平行框图、散点图，基本统计量分析数据单变量数据，双变量数据，至少一个变量是分类变量的双变量数据推理、预测模拟样本统计量的变异性，用样本统计量反映总体参数，以样本分布作为非正式推断的基础，评价研究报告，理解基本统计在质量监督中的应用概率的概念样本空间，概率分布，模拟经验概率的分布，随机变量的期望值，条件概率，独立事件的概率，复合事件的概率二、美国高中数学核心概念图核心概念的强大生长力和深刻的思想性，决定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点[4]。为了进一步了解美国高中数学核心概念的发展脉络和联系通道，我们以《高中焦点》确定的《原则和标准》中的关键元素（keyelements）为依据，并以UCSMP系列教科书内容结构为线索，重点探究了三个领域中概念的纵向发展主线和横向联系点，希望从中析出核心概念的关系网络，并绘出三个领域的核心概念图。由于“数与运算”和“度量”领域的内容不是美国高中数学的重点内容，我们重点对“代数”“几何”和“数据统计与概率”三个领域进行了分析，与此相关的教科书是AdvancedAlgebra[5]，Geometry[6]和Functions，Statistics，andTrigonometry[7]。（一）代数领域核心概念图图1是美国高中代数领域的核心概念图。由图可见，整个代数领域的概念构成了一张纵横交错的网，这张网中有4个明显的节点——“代数符号”“函数”“数学模型”和“各种情境中的变化关系”，其中“函数”处于整张网的核心位置。由函数生成了4个子概念，这些子概念通过各种通道与其他核心概念及其子概念，以及其他领域产生联系。具体表现为：1.关系和函数①这个子概念说明美国高中数学将函数定位为一种特殊的关系，而由其中的“二次关系”出发讨论二次曲线和二次曲线的分类[5]，体现了代数与几何的联系。2.函数的各种表征形式②显示函数主要包括三种表征形式——符号、表格和图象，美国课程关注的用显示方式或递归方式定义的函数归纳模式属于函数的符号表征。而函数的符号表征与代数表达式和方程具有等价形式，这表明了函数与代数符号⑤的联系。这种等价形式也使得解方程成为“已知函数值求相应的自变量的值”的过程，并且为借助函数图象求解部分方程、方程组和不等式组等成为可能。函数的图象表征还可以用于理解逼近和变化率等概念，为分析变化关系提供了手段，而各种情境中的变化关系⑥中主要涉及两种变化关系，直接变化和反向变化[5]，它们都是函数关系，其中的反向变化关系是构建逆变化模型[5]的基础。在函数的各种表征形式②中还特别关注了二次函数的各种表征，其中涉及的二次函数知识被应用于构建二次模型，体现了函数与数学模型⑦的联系。3.函数的变换③主要包括算术合成、复合和求逆，函数符号的使用使得这些变换的形式表示成为可能。例如，函数的四则运算可以表示为f±g，f·g和f/g，从而体现了函数与代数符号⑤的联系。4.函数的性质④包括多项式函数、有理函数、对数函数、周期函数、一次函数和指数函数的性质，其中一次函数、周期函数和指数函数的知识分别为构建线性模型和指数模型提供了基础，体现了函数与数学模型⑦的联系。此外，美国高中阶段代数领域概念的发展中还反映出两条主线：一是“代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数[8]”，这条主线蕴含于用符号代数表征和解释数学关系⑧、关系和函数①、函数的变换③等概念中；二是运算贯穿整个代数领域，算术的运算法则和运算性质也是进行符号运算，以及方程、不等式和函数运算的依据，主要体现于用符号代数表征和解释数学关系⑧，代数不等式、方程、不等式及关系的等价形式和意义⑨，评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性⑩，解方程、不等式和方程组11，以及函数的变换③等概念中。在代数符号⑤这个核心概念的子概念中，则体现了代数与几何的一个联系点：评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性⑩包含了“几何情境代数化，代数情境几何化，利用代数和几何的联系解决问题[3]”的推理。例如，利用面积模型解方程x2+10x=144[3]。图1美国高中代数领域核心概念图（二）几何领域核心概念图图2是美国高中几何领域的核心概念图。可以发现，美国高中阶段的几何内容具有以“二维和三维几何图形”为对象，通过直观描绘、数学推理、坐标方法、变换等多种手段研究几何对象的特点。在核心概念的组织上，则呈现出两条明显的主线和三个联系点。1．几何领域核心概念的发展主线主线1：提出假设①→用演绎支持假设的可靠性②提出假设①的过程是“通过分析平面或空间中的构造和对几何关系进行归纳性推理[3]”，提出的假设包括二维和三维空间中物体的性质和特点，以及不同几何物体之间的关系。用演绎支持假设的可靠性②指的是“构建和评价关于图形及其性质的推理式命题（正式的和非正式的），帮助理解几何情境”[3]，用演绎推理支持的结论同样包括二维和三维空间中物体的性质和特点以及不同几何物体之间的关系；用演绎支持假设的可靠性②还包含用坐标检验对二维和三维空间中物体的假设③，如推出两点间距离公式、圆的方程、线段中点公式[6]等。提出假设①包含了归纳推理④过程，用演绎支持假设的可靠性②包含了演绎推理⑤过程，Geometry[6]中还强调公理化体系⑥内的演绎，例如引入欧氏几何中的公设，指出“好的定义”的条件，以及“数学推理的基础是使用定义、公设和定理证明结论”[6]。因此本条主线中隐含了由归纳推理④到演绎推理⑤再到构建公理化体系⑥的过程。主线2：用变换⑦理解和证明图形的性质和关系变换包括平移变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换和简单变换及其复合，其中平移、反射、旋转和滑动反射（平移和反射的复合）是等距变换。在美国高中几何课程中，变换被作为理解和证明图形性质和关系的有效手段。具体表现为以下三个方面：（1）等距变换可以用来定义全等图形——“当且仅当两个图形由等距变换（平移、反射、旋转、滑动反射）联系起来时，它们是全等图形”，证明两个图形全等，还可以用来证明图形的性质，例如可以