第二章参数估计习题

第二章参数估计1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度为f(x)=,00,0xexx其中。试用矩法求的估计量。解：f(x)=（）0解：()xe()xef(x)=（）{,00,0xexx0,00,0xexx001()xExxfxdxxedx用样本估计Ex，则有x11,xx＾2.设母体X具有几何分布,它的分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,…先用矩法求p的估计量,再求p的最大似然估计.解:(1)矩法估计12111(1)[(1)]'kkkkEXkppppppp1px＾2111(((1))'[]'()')1(1)iixxxxxx(2)极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln()ln(1)lniiLxnpnpln10,1iinxdLnpdpppx＾3.设母体X具有在区间[a,b]上的均匀分布,其分布密度为f(x)=1,0,axbba其他其中a,b是未知参数,试用矩法求a与b的估计量.解:用和分别估计EX和DX得21[,],,()212abXUabEXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS＾＾4.设母体X的分布密度为f(x)=其中(1)求的最大似然估计量;(2)用矩法求的估计量.解:1,010,xx其他0()xfx1,010,xx其他0()1最大似然估计1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0,lniiiidLnnxdx＾2矩法估计用估计EX110()1EXxfxdxxxdx用估计EXXX1XX5.设母体X的密度为试求的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计.解：1(),2xfxex1111()()22iixxnnniiiLfxeelnln2lniixLnn2ln0iixdLnd得1iixn＾0()11222ixxExEXxfxdxxedxxedx11()iiiiEExExnn是的无偏估计.＾6.设母体X具有分布密度f(x)=其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数1,0(1)!0,kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxexekk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxxln0,iidLnkkkxdxx或＾＾7.设母体X具有均匀分布密度,从中抽得容量为6的子样数值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计1(),0fxx(0,)XUmax2.2ix,1.122EX＾＾＾22221,0.40331212DX＾＾8.设母体X的分布密度为f(x)=(),0,0xexx试求的最大似然估计。解：()Xfx(),0,0xexx似然函数()11()innxiiiLfxelnln(),0iidLLxnd无解为了使L达到最大，，尽可能小，尽可能大，而＾0iixn(1)1,miniiinxxx12设母体X服从正态分布是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）＾12(,1),(,)NXX1122133XX（2）＾2121344XX（3）＾3121122XX都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxExEx同理：都是的无偏估计。23和＾＾＾222222123215135111()(),()(),()()339448222DDD＾＾＾3方差最小为有效＾对形如1,1,,niiiiixxxEx且时以为最有效＾2Dxn13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布母体的一个子样。试验证：子样方差是的无偏估计；并且对任一值也是的无偏估计，此处为子样的平均数()P*2S*2[0,1],(1)XSX解：*2(),,,,XPEXDXEXES*2*2((1)](1)(1)EXSEXES14.设X1,X2,…,Xn为母体的一个子样。试选择适当常数C,使为的无偏估计。解：2(,)N1211()niiiCXX22211221()[()()]()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiExx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxExExxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()1[],2(1)2(1)iiixxEcnn18.从一批电子管中抽取100只,若抽取的电子管的平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用估计,构造函数1000xx(0,1)/xuNsn近似给定置信概率,有12{}1Puu即22()1ssPxuxunn224010001.96992.2104010001.961007.810sunsun置信下限x置信上限x整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.2,1007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（2）若未知。解：n=16,(1)若已知，构造函数0.01();cm*2.125,0.017xs0.01()cm(0,1)/xuNn给定置信概率90%，有2{}1Puu即0022()1Pxuxunn02()(2.1250.0041)xun置信区间为为（2）若未知构造函数*(1)/xTtnSn给定置信概率90%，查得，有0.05(15)1.7531t2((1))1pTtn∴母体平均数的置信概率为90%的置信区间为，即（2.125±0.0075）*0.05((15))sxtn21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x~“0-1”分布，,(1)mmmxsnnn构造函数(0,1)/xpuNsn近似给定置信概率95%，有2{}1Puu即2211((1)(1)}1mmmmmmpupunnnnnnnn故p的置信概率为95%的置信区间为（0.25±0.11）22.对于方差为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数的置信概率为的置信区间的长度不大于L?解：2122(,),XN已知构造函数(0,1)/xuNn给定置信概率，有，使12u2{}1Puu即22()1Pxuxunn置信区间长度22uLn22224/nuL23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差的数值。设（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10,*s*s*s22(,),,XN未知*25.1s用估计,构造函数给定置信概率=99%,查表得*2s2*2222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589,(9)1.735使2220.9950.005{(9)(9)}0.99p母体的置信概率为0.99的置信区间是**2212233(,)(9)ss即(3.150,11.62)(2)n=46,时,所求的置信区间是*14s*2*2220.0050.995(1)(1)(,)(45)(45)nsns即(10.979,19.047)25.设母体X服从正态分布,和是子样X1,X2,…,Xn的平均数和方差;又设,且与X1,X2,…,Xn独立,试求统计量的抽样分布.解:2(,)NX2nS21(,)nXN111nnXXnSn12221()01()(1)nnEXXDXXnn,又1,nXX服从正态分布,故,1(0,1)11nXXNn222(1)nnSn又2nS与1,nXX独立根据t分布定义1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTtnnSSnnnSnn26.设X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn分别是从分布为两个母体中抽取的独立随机子样,分别表示X和Y的子样平均数,和分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数和,试求随机变量2212(,)(,)NN和XY和*xS*yS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.解:是正态变量线性组合,仍服从正态分布.XY122221222()()()()()(0,1)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1),(1)yxnSmSmn且相互独立由分布可加性,22222(2)xymSnSmn且与XY独立根据t分布定义122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTtmnmSnSmSnSmnmnmn27.从正态母体中抽取一个n45的大子样,利用第一章2.2中分布的性质3,证明方差22的置信区间(给定置信概率为)是1*2*222(,)221111SSuunn证明:对正态母体的置信概率为的置信区间是21*2*222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn当n45时,2()2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式,即*2*222(,)221111SSuunn证毕.29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:*2*20.1425,30.0000250.1392,40.000021AABBxsxs设测试数据分别具有分布21(,)N和22(,)N.试求的置信概率为95%的12置信区间.解:2212(,),(,)ABXNXN,4,5ABnn*2*20.1425,30.0000250.1392,40.000021AAB