第二章统计量、参数估计与区间估计

第二章统计量、参数估计与区间估计分析测试都采取抽样检验，通过样本测试对总体的某个或某些特征进行估计与作出推断。统计推断:参数估计、假设检验参数估计：随机变量分布函数已知，须通过样本值估计分布的参数假设检验：假设随机变量分布具有某种函数分布形式,根据样本值通过检验分布参数来推断其假设是否正确。已知随机变量分布函数为正态分布，而表示其分布特性的参数有μ、σ2，为总体的参数。确定了μ、σ2，就可以预测和估计任何测量值落在某一区间的概率，了解总体分布的基本特征。参数的点估计实际分析测试中，对样本进行的是有限次的测定，只能得到样本的平均值和样本方差s2，那么，能否用样本平均值和样本方差s2来分别估计总体均值μ和总体方差σ2，如果理论上证明是可行的，就可将求总体均值μ和总体方差σ2简化为求样本的平均值和样本方差s2。xxx所以，参数估计是根据样本数据估计总体参数的值，如估计总体均值、总体方差，称为参数的点估计。估计值不正好等于待估参数，而只是其近似值。参数的区间估计它包括参数存在的区间，同时也给出此区间包含待估参数真值的概率，常以置信区间的形式给出。第一节加和号和期望值的运算一、加和号的运算1.2.3.,或4.xxxxmnnnmnmii...1xxxxnnii2222112...niiniixx1212nniixxxx2112212)...()(xxxxni5.6.（a为常数）7.8.（当样本一定，为常数）即nnyxyxyxyxii...2211xaxaiinaaxnxxinx1xxxxiiinnn1)1(xixnx9.10.（即一组随机样本值对于样本平均值的偏差的加和等于零。）naxaxii)(0)(xnxxxiixnxnnxii1二、期望值及其运算1.定义对于一个测量值来说，其期望值就是总体的平均值（在无系统误差时）。期望值就是理想值-真值。即我们并不期望在一次给定的试验中，会取它的期望值，然而在大量的试验中，我们可合理地预料，的平均值将在的期望值的附近。2.表示符号：＜＞，对于方差σ2（）表示3.运算规则（1）a为常数，＜＞＝；xxxaa（2）若是随机变量的随机样本值＜＞＝＜＞＝μ＝总体均值＝（3）（4）（5）xixixxni122222)(1)()()()(iiiixnxxxxx＞＜＞＞＜＜＜ax＞＝＜a＞＜x＞＝a＜x＞＝μa＜xi＞＝＜xi＞＝μn（6）证明：（7）若和是两个互相独立的随机变量,如:即对于相互独立的随机变量，各变量之和（或差）的期望值，都等于各变量的期望值之和(或差)。))())222222xaxxaaxaxax（σ＞＞＜＜＞＞＜＜（（σ）（σσxaxa222)(）（σσxaxa222)(xy＞＜＞＜＞＜yxyx＞＞＜＜＞＜yxxy（8）（9）平均值的方差，等于各别测量值的方差的)()()()(2222xnxxxiiσσσσ)1)(.1)(1)(1)()(222222222xnxnnxnxnnxxii（σσσσσσn1（10）证明：由于随机变量相对于它们的平均值的偏差的加和等于零。所以:)()2))))((2)())()))()(22222222＞＜＞＜＞＜＜（＞＞＜＜（＞＞＜＜（＞＞＜＞＜＞＜＞＜＜（＞］＞＜＞＜＜［（＞＞＜＞＜＜（＞＞］＜＜［σyyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyxyxyxyxyx0)(＞＞＜＜xx)0)(1)((μ＞μ＜xinx)()()(222yxyxσσσ)()()(222yxyxσσσ（11）证明：∵∴上式∴若则222)())(＞＜（＞＜σxaxax＞＞＜＞＜＞＜＜＞＞＜＜＞＞＜＝＜＞＞＜＞＜＞＜＞＜＜＞］＞＜＞＜＜［＞＞＜＞＜＜（＞＜)()(2)()())((2)()()(())(2222222xaxxxaxxxaxxxaxxxaxxaxxxax0)(＞＞＜＜xx2222)()))(＞＜（σ＞＞＜＜（＞＞＜＜xaxxaxx0a222)(＞＜＞＜xxx整理得：∵∴又∵由上式得：∴22222)()nnxxxxxii＞＜＞＜（σ2(μ）xiSnnSxxi22()(μ）σSxnxi22)()μ（σ222)(1)xnxxnii（σ222)(1)xxiinxnS（σ222)(＞＜＞＜xxx由上可见。S是由平均值计算出来的。但通常并不是有限小数，绝大多数都按数字修约规则获得的近似值，于是各偏差也都是近似值，其平方再加和，会把舍入误差累积起来，使S、s2、s受影响。为了消除上述弊病，同时为了计算机编程方便起见，可由样本值按上式直接求出方差和S、s2、s。第二节统计量一、统计量1.定义将样本值经过加工运算得到的样本函数值，称为统计量。它可以把关于总体的有用信息更明确更集中地反映出来,如、R、s2、s、S等，这些数值都是由随机变量的随机样本值得到的。所以，统计量也是随机变量。2.作用利用统计量可以对被测物理量的数值作出统计意义的推断xxi选定一个概率（置信概率），并在真值统计量的两边，各定出一个界限（置信限），由此画出的区间——置信区间，然后才能断然说，这个区间包含真值在内的概率是多少，这叫做区间估计而被推断出物理量真值的某个统计量叫做参数的点估计。例如，样本平均值作为总体均值μ的估计值，记做。x二、一些统计量的计算1.平均值简化计算法----编码变换（大的变小，小数变整数）（1）(2)(3)(表示一个数)注意：当测定精密度好，可多保留一位；当离散度大时，位数与测量值相同或少一位。xnxi1aaxxiiixnx1axx2.差方和（离差平方和）方差标准差2)(xSxi12nSs1nSsS的计算方法：（1）由样本值直接求:利用简化计算法与的关系：22)(1xxiinSS)(axbxiiS各样本值同减去一个数a，其差方和不变令则∴axxiiaxxSxxaxaxxxSiii222)()()()(SxnxSii22)(1各样本值同乘以一个数b，其差方和增大b2倍令∴iibxxxbxSbxxbxbbxxxSiii22222)()()(2bSS例2－1用K2Cr2O7法测定某赤铁矿中铁的含量，数据如下：66.64，66.56，66.65，66.62，66.63计算方法的精密度。解：编码公式:%1001%100xnSxsRSD＝ix2ixxi100)60.66(iixx66.6466.5666.6566.6266.634-4523101616254970∴（2）先计算平均值，再由，求S。005.0501002＝＝S%053.0%10062.664005.0%1001xnSRSDx2)(xSxi62.661051060.6610560.6622ixx50105170)(1222iixnxS习题某标准水样中氯化物含量为110mg/L，银含量法测定5次的结果分别为112，115，114，113，115mg/L。（1）计算平均值的绝对误差和相对误差；（2）计算样本的差方和、方差、标准偏差和相对标准偏差。第三节参数的点估计一、参数的点估计点估计：用样本的统计量作为总体参数的估计值，叫做总体参数的点估计。表示测定值集中趋势的参数:均值、中位值等，表示测定值离散特性:算术平均偏差、极差、方差和标准差。^μx^μ～x22ss二、参数μ的点估计值1.算术平均值（指各测量值的方差都相等的等精度的测量）（1）平均值是总体均值μ的无偏估计量，这是因为参数μ的估计量的期望值等于被估参数，即无偏估计量是说由测定值计算的估计值离被估参数μ很近，由不同样本得到的估计值在被估参数μ附近波动。xx＝μμ＞＜＞＜＞＜nxnxnxii111xμ＞＜xx（2）是出现概率最大的值p23在正态总体中，随机抽出容量为的样本，独立进行测定，得到个测定值测定值出现的概率是指随机变量出现在区间的概率（即具有各种大小偏差的样本值出现的概率）。eFaixi2(2121）σπσnxixxi△nnxxx,,21iFx假设最佳值为，则为各次测量值所对应的误差由于各次测量值独立进行，所以在次测定中，总概率F为：exxxaaannxxxFFFFn］［（222212)()()212121)()()()(naaxi),(),(),(21axaxaxn而在一组测量中，最佳值或最可信赖值乃是当总概率P最大时所求出的那个值。由指数关系可知，当F最大时，则为最小，亦即在一组测量值中各偏差的平方和最小，而S为极小值的条件：222221)())()(axaxaxaxin＋（当S最小，∴∴∴算术平均值0dadS022daSd0)(2)(2)(2)(221aaaadadSxxxxinndaSd222222200)(0)(2naxaxaxiiixnai1由此可得结论(最小二乘法原理)：在一组等精度测量中，为其最佳值或最可信赖值；各测量值与的偏差的平方和为最小由正态分布图形也可看出，由于正态分布概率密度函数曲线对μ对称，各测定值对真值μ的偏差有正有负，正负偏差出现的机会相同。当对测定数据进行算术平均后，一部分正负误差相互抵消，因此，用来估计μ偏差会更小。xxx（3）在一组测量值中，测定值对算术平均值的偏差之和为零由上可见，算术平均值充分利用了样本测定所提供的全部信息，在等精度的测定中，是出现概率最大，偏差平方和最小的值，因而是最可信赖的。算术平均值是μ的无偏估计量，用它来估计μ是最有效的。0)(1xnxnxnxxxinii)1(xnnnxi2.加权平均值设有m组精度分别为S1、S2、…Sm的不等精度的平均值（不同的人、不同的室、或一个人用不同的方法测定同一试样）被测定量μ的最佳值或最佳估计值是样本测定值的加权平均值：（表示）式中权数与测定值的方差成反比。wxwxwxiiiwxiixwsix121swiimxxx、、21wx权重:表示某个精度测定值在样本平均值中所占的地位、比例或贡献，即表示测量值可信赖程度的数值。可见，测量值的可信赖程度与标准差有关，标准差愈小其可信赖程度愈大，因而其权愈大。正态分布的条件下，给于较大权数的测定值必定是最可信赖值，即误差最小，概率最大的测定值。21swiiwi加权平均值的特性:（1）不等精度测定中，是总体均值μ的无偏估计量wxwxwwxwxiiiiiw＞＜＞＜＞＜（2）在不等精度测量中，是出现概率最大的值（3）对于精密度S相同，但测量次数不同的几组测量值，各组测量值平均值的精密度不同，所以（权数＝测定次数）nxnxiiiwwx在等精度的测定条件下，各测定值的权相同，则加权平均值等于算术平均值，这是不等精度测定的一种特殊情况，即无论是等精度还是不等精度的测量，都可用加权平均值表示测定结果。xxnxxwxiiiiw1例2－2某一实验室三个分析人员分别用光谱法、原子吸收法和化学法测定耐火材料中的CaO，测定结果分别为(%)：1.65，1.67，1.70，标准差分别为0.043，0.024，0.020，问该实验室应如何报分析结果？例2－2某一实验室三个分析人员分别用光谱法、原子吸收法和化学法测