老师整理的信息论知识点

Chp02知识点：自信息量：1）)(log)(iixpxI2）对数采用的底不同，自信息量的单位不同。2----比特（bit）、e----奈特（nat）、10----哈特（Hart）3）物理意义：事件ix发生以前，表示事件ix发生的不确定性的大小；事件ix发生以后，表示事件ix所含有或所能提供的信息量。平均自信息量（信息熵）：1）)(log)()]([)(1iqiiixpxpxIExH2）对数采用的底不同，平均自信息量的单位不同。2----比特/符号、e----奈特/符号、10----哈特/符号。3）物理意义：对信源的整体的不确定性的统计描述。表示信源输出前，信源的平均不确定性；信源输出后每个消息或符号所提供的平均信息量。4）信息熵的基本性质：对称性、确定性、非负性、扩展性、连续性、递推性、极值性、上凸性。互信息：1）)()|(log)|()();(ijijiijixpyxpyxIxIyxI2）含义：已知事件jy后所消除的关于事件ix的不确定性，对信息的传递起到了定量表示。平均互信息：1）定义：2）性质：联合熵和条件熵：各类熵之间的关系：数据处理定理：Chp03知识点：依据不同标准信源的分类：离散单符号信源：1）概率空间表示：2）信息熵：)(log)()]([)(1iqiiixpxpxIExH，表示离散单符号信源的平均不确定性。离散多符号信源：用平均符号熵和极限熵来描述离散多符号信源的平均不确定性。平均符号熵：)...(1)(21NNXXXHNXH极限熵（熵率）：)(lim)(XHXHNN（1）离散平稳信源（各维联合概率分布均与时间起点无关的信源。）（2）离散无记忆信源：信源各消息符号彼此互不相关。①最简单的二进制信源：01()Xpxpq，信源输出符号只有两个：“0”和“1”。②离散无记忆信源的N次扩展：若信源符号有q个，其N次扩展后的信源符号共有qN个。离散无记忆信源X的N次扩展信源XN的熵：1212101,(1,2,,);1rrriiiaaaXpapapaPpairpa等于信源X的熵的N倍，表明离散无记忆信源X的N次扩展信源每输出1个消息符号（即符号序列）所提供的信息熵是信源X每输出1个消息符号所提供信息熵的N倍。离散无记忆信源X的N次扩展信源XN极限熵（熵率）为：)()(1lim)(lim)(XHXNHNXHXHNNN（3）离散有记忆信源—》马尔可夫信源—》时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链1）用分布律描述：2）转移概率：即条件概率。3）转移概率矩阵：用)(npij表示n步转移概率矩阵。且nijijpnp))1(()(，，会写出马氏链的一步转移概率矩阵，会画状态转移图，能够求出n步转移概率矩阵。4）遍历性的概念：求解马氏信源的遍历性，即找一正整数m，使m步转移概率矩阵)(mpij中无零元。求解马氏遍历信源的信息熵步骤：（1）根据题意画出状态转移图，判断出是平稳遍历的马尔可夫信源；（2）根据状态转移图写出一步转移概率矩阵，计算信源的极限分布q即是求解方程组：qiiWWPW11（3）根据一步转移概率矩阵和极限概率W计算信源的信息熵：极限熵H∞等于条件熵Hm+1。（m阶马尔可夫信源的熵率）信源的相关性和剩余度：，用来衡量信源输出的符号序列中各符号之间的依赖程度。当剩余度＝0时，信源的熵＝极大熵H0，表明信源符号之间：(1)统计独立无记忆;(2)各符号等概分布。连续信源：（1）微分熵：i.定义：ii.物理意义：（2）连续信源的联合熵和条件熵（3）几种特殊连续信源的熵：a)均匀分布的连续信源的熵：)(log)(2abXHcb)高斯分布的连续信源的熵：222log21)(eXHc【概率密度函数：222)(221)(mxexp】c)指数分布的连续信源的熵：meXHc2log)(【概率密度函数：mxemxp1)(】（4）最大连续熵定理：011HHa)限峰值功率的最大熵定理（输出幅值受限）：均匀分布b)限平均功率的最大熵定理（输出平均功率受限）：高斯分布（5）熵功率及连续信源的剩余度\Chp04知识点：一、一些基本概念：1．什么是信道？信道的作用，研究信道的目的。2．一般信道的数学模型，信道的分类（根据输入输出随即信道的特点，输入输出随机变量个数的多少，输入输出个数，有无干扰，有无记忆，信道的统计特性进行不同的分类）3．前向概率p(yj/xi)、后向概率/后验概率p(xi/yj)、先验概率p(xi)。4．几个熵的含义：H(X)---表示信源的不确定性；H(X|Y)---信道疑义度，表示如果有干扰的存在，接收端收到Y后对信源仍然存在的不确定性。也称为损失熵，表示信源符号通过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。H(Y|X)---噪声熵，它反映了信道中噪声源的不确定性。二、离散信道：1．单符号离散信道：a)信道模型的表示：传递矩阵（有传递(条件、转移)概率p(yj|xi)组成）；b)信道的信息传输率：R=I(X;Y)—表示接收到输出符号集Y后所消除的对于信源X的不确定性，也就是获得的关于信源的信息。它是平均意义上每传送一个符号流经信道的信息量。关于I（X;Y）的性质：I(X;Y)是信源概率分布p(xi)和信道转移概率p(yj|xi)的二元函数：11(/)(/)22()()(/)1111()()(/)()()(/)(;)()log()(/)logjijinjijiinjijiijijiinmnmpyxpyxijijipypxpyxijijpypxpyxpxypxpyxIXYpxypxpyx那么，当信道特性p(yj/xi)固定后，I(X;Y)随信源概率分布p(xi)的变化而变化。调整p(xi)，在接收端就能获得不同的信息量。由平均互信息的性质已知，对于给定的信道转移概率p(yj/xi)，I(X;Y)是输入分布p(xi)的上凸函数，因此总能找到一种概率分布p(xi)（即某一种信源），使信道所能传送的信息率为最大。那么这个最大的信息传输率即为信道容量。c)信道容量概念：在信道中最大的信息传输速率()()maxmax(;)(/)iipxpxCRIXY比特信道符号对于给定的信道，总能找到一个最佳输入分布使得I(X;Y)得到极大值。d)信道容量的含义：信道容量是完全描述信道特性的参量，信道容量是信道传送信息的最大能力的度量，信道实际传送的信息量必然不大于信道容量。2．几种特殊离散信道的信道容量：a)具有一一对应关系的无噪信道：n---输入符号数，m---输出符号数当信源呈等概率分布时，具有一一对应确定关系的无噪信道达到信道容量C：b)具有扩展性能的无损信道：c)具有归并性能的无噪信道：注意：在求信道容量时，调整的始终是输入端的概率分布p(xi)，尽管信道容量式子中平均互信息I(X;Y)等于输出端符号熵H(Y)，但是在求极大值时调整的仍然是输入端的概率分布p(xi)，而不能用输出端的概率分布p(yj)来代替。也就是一定能找到一种输入分布使输出符号Y达到等概率分布。d)行对称信道的信道容量：),...,,()}({max''2'1)(sxppppHYHCe)离散对称信道的信道容量：若一个离散对称信道具有r个输入符号，s个输出符号，则当输入为等概分布时达到信道容量，且，其中为信道矩阵中的任一行。f)均匀信道的信道容量为g)准对称信道的信道容量：),...,,(loglog''2'1122snkkkpppHMNrC，其中Nk是n个子矩阵中第k个子矩阵中行元素之和，Mk是第k个子矩阵中列元素之和。h)二元对称信道的信道容量：C=1-H(p)p为错误传递概率。3．一般离散信道的信道容量计算方法：已知信道的转移矩阵P，求信道容量。两种方法：方法一：依据：I(X;Y)是输入概率分布p(xi)的上凸函数，所以极大值一定存在。步骤：①根据信道转移矩阵Ｐ的特点，用某一参数α设为输入分布p(xi)；②由)|()()(1ijniijxypxpyp得出输出分布p(yj)也是关于α的函数；③将用α表示的p(xi)和p(yj)带入I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)中，得到I(X;Y)是关于α的函数。④求I(X;Y)对α的偏导数，并令其等于0，解得α即得到输入分布；⑤将解得的α代入I(X;Y)式中得到信道容量C。例子：见教材P65，[例4.5]方法二：公式法：注意：在第②步信道容量C被求出后，计算并没有结束，必须解出相应的p(xi)，并确认所有的p(xi)≥0时，所求的C才存在。在对I(X;Y)求偏导时，仅限制niixp11)(，并没有限制p(xi)≥0，所以求出的p(xi)有可能为负值，此时C就不存在，必须对p(xi)进行调整，再重新求解C。4．平均互信息I(X;Y)达到信道容量的充要条件：见教材P65。5．多符号离散信道及信道容量：a)含义，数学模型：多符号离散信源X=X1X2…XN在N个不同时刻分别通过单符号离散信道{XP(Y/X)Y}，则在输出端出现相应的随机序列Y=Y1Y2…YN，这样形成一个新的信道称为多符号离散信道。由于新信道相当于单符号离散信道在N个不同时刻连续运用了N次，所以也称为单符号离散信道{XP(Y/X)Y}的N次扩展。b)离散多符号信道的平均互信息和信道容量的几个结论：结论1：离散无记忆信道的N次扩展信道的平均互信息，不大于N个随机变量X1X2…XN单独通过信道{XP(Y/X)Y}的平均互信息之和。结论2：离散无记忆信道的N次扩展信道，当输入端的N个输入随机变量统计独立时，信道的总平均互信息等于这N个变量单独通过信道的平均互信息之和。结论3：离散无记忆信道的N次扩展信道，如果信源也是离散无记忆信源的N次扩展信源，则信道总的平均互信息是单符号离散无记忆信道平均互信息的N倍。结论4：用C表示离散无记忆信道容量，用CN表示其扩展信道容量，CN=NC6．组合信道及信道容量：a)独立并联信道：含义：输入和输出随机序列中的各随机变量取值于不同的符号集，就构成了独立并联信道。是离散无记忆信道的N次扩展信道的推广。信道容量：121NNNkkCCCCC，并当输入端各随机变量统计独立，且每个输入随机变量Xk(k=1,2,…,N)的概率分布达到各自信道容量Ck(k=1,2,…,N)的最佳分布时，CN达到其最大值：max1NNkkCC。b)级联信道：含义：可以看成一个马尔可夫链。信道容量：先求各个级联信道的信道矩阵的乘积，得到级联信道的总的信道矩阵。然后按照离散单符号信道的信道容量方法求即可。7．连续信道及信道容量：a)传递特性表示及数学模型；传递特性用条件转移概率密度函数p(y/x)表示。b)连续信道的信道容量：信源X等于某一概率密度函数p0(x)时，信道平均互信息的最大值，即()max(;)pxCIXYc)平均功率受限的加性信道的信道容量:当噪声、输入分布和输出都满足高斯分布时达到信道容量：)1(log21)1(log212222NXxPPC8．波形信道的信道容量：设信道的频带限于(0,W)；根据采样定理，如果每秒传送2W个采样点，在接收端可无失真地恢复出原始信号；香农公式：把信道的一次传输看成是一次采样，由于信道每秒传输2W个样点，所以单位时间的信道容量为2log(1)(/)XtNPCWP比特秒香农公式含义：当信道容量一定时，增大信道带宽，可以降低对信噪功率比的要求；反之，当信道频带较窄时，可以通过提高信噪功率比来补偿。香农公式给出有噪信道中无失真传输所能达到的极限信息传输率，因此对实际通信系统的设计有非常重要的指导意义。Chp05知识点1、信源编码的基本途径、主要任务：2、信源编码的基础：香农两大定理。3、离散无记忆信源的一般模型，理解含义4、一些码的含义：二元码、等长码、变长码、非奇