磁场边界问题

(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等．因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题．(2)模型分类Ⅰ.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8－2－11(甲)中带负电粒子的运动为例．图8－2－11规律要点①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周且与边界相切时(如图中a点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)．②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点(如图8－2－11(甲)中的b点)为带电粒子射出边界的最远点(距O最远)．Ⅱ.双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8－2－11(乙)中带负电粒子的运动为例．规律要点①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切．如图8－2－11(乙)所示．②对称性：过粒子源S的垂线为ab的中垂线．在如图(乙)中，a、b之间有带电粒子射出，可求得ab＝22dr－d2最值相切规律可推广到矩形区域磁场中．Ⅲ.圆形边界(1)圆形磁场区域规律要点①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8－2－12(甲)．②直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小．如图8－2－12(乙)所示．(2)环状磁场区域规律要点①径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场．②最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度vm而磁场有最小磁感应强度B.如图8－2－12(丙)．图8－2－12图8－2－13【典例】如8－2－13所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析(1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝3r3，又qv1B＝mv12R1得v1＝3Bqr3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，则由几何关系有(2r－R2)2＝R22＋r2可得R2＝3r4，又qv2B＝mv22R2，可得v2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m.答案(1)3Bqr3m(2)3Bqr4m图8－2－141．(2011·海南卷，10改编)如图8－2－14所示空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力，下列说法正确的是()．A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小解析带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据qvB＝mv2r得轨道半径r＝mvqB，粒子的比荷相同．故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同，相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B正确．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πrv＝2πmqB，故所有带电粒子的运动周期均相同．若带电粒子从磁场左边界射出磁场，则这些粒子在磁场中运动时间是相同的，但不同速度轨迹不同，故A、C错误．根据θt＝2πT得θ＝2πTt，所以t越长，θ越大，故D错误．答案B2．(2011·浙江卷，20改编)利用如图8－2－15所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是()．图8－2－15A．粒子带正电B．射出粒子的最大速度为2mqB3d＋LC．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大解析利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A错误．利用qvB＝mv2r知r＝mvqB，能射出的粒子满足L2≤r≤L＋3d2，因此对应射出粒子的最大速度vmax＝qBrmaxm＝qB3d＋L2m，选项B错误．最小速度vmin＝qBrminm－qBL2m，Δv＝vmax－vmin＝3qBd2m，由此式可判定选项C正确，选项D错误．答案C3．(2011·广东卷，35)如图8－2－16(a)所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小．(2)若撤去电场，如图8－2－16(b)，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．(3)在图8－2－16(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？图8－2－16解析(1)根据动能定理，qU＝12mv12－12mv02，所以v0＝v12－2qUm.(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由几何知识可知R2＋R2＝(R2－R1)2，解得R＝2R0.根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律qv2B＝mv22R.解得B＝mv2q2R0＝2mv22qR0.根据公式tT＝θ2π，2πR＝v2T，qv2B＝mv22R，解得t＝T4＝2πm4Bq＝2πm4×mv22R0＝2πR02v2.(3)考虑临界情况，如图所示①qv3B1′＝mv32R0，解得B1′＝mv3qR0，②qv3B2′＝mv322R0，解得B2′＝mv32qR0，综合得：B′mv32qR0.答案(1)v12－2qUm(2)2mv22qR02πR02v2(3)mv32qR0图8－2－174．(2011·课标全国卷，25)如图8－2－17所示，在区域Ⅰ(0≤x≤d)和区域Ⅱ(dx≤2d)内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q(q0)的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域Ⅰ时，速度方向与x轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a的13.不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：(1)粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；(2)当a离开区域Ⅱ时，a、b两粒子的y坐标之差．解析(1)设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)．半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvaB＝mva2Ra1①由几何关系得∠PCP′＝θ②Ra1＝dsinθ③式中，θ＝30°，由①②③式得va＝2dqBm④(2)设粒子a在Ⅱ内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa(图中未画出轨迹)，∠P′OaPa＝θ′.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qva(2B)＝mva2Ra2⑤由①⑤式得Ra2＝Ra12⑥C、P′和Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于x＝32d⑦的平面上．由对称性知，Pa点与P′点纵坐标相同，即yPa＝Ra1cosθ＋h⑧式中，h是C点的y坐标．设b在Ⅰ中运动的轨道半径为Rb1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qva3B＝mRb1va32⑨当a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α.如果b没有飞出Ⅰ，则tTa2＝θ′2π⑩tTb1＝α2π⑪式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而Ta2＝2πRa2va⑫Tb1＝2πRb1va3⑬由⑤⑨⑩⑪⑫⑬式得α＝30°⑭由①③⑨⑭式可见，b没有飞出Ⅰ.Pb点的y坐标为yPb＝Rb1(2＋cosα)＋h⑮由①③⑧⑨⑭⑮式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为yPa－yPb＝23(3－2)d⑯答案(1)2dqBm(2)23(3－2)d第3讲带电粒子在复合场中的运动对应学生用书P141复合场复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场.带电粒子在复合场中的运动分类1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．2．匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．3．较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．4．分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成.电场磁场同区域应用实例装置原理图规律速度选择器若qv0B＝Eq，即v0＝EB，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，qUd＝qv0B，U＝v0Bd电磁流量计UDq＝qvB所以v＝UDB所以Q＝vS＝UDBπD22质谱仪、回旋加速器《见第2讲》温馨提示复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略．而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力．(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力．(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力．图8－3－11．如图8－3－1是磁流体发电机的原理示意图，金属板M、N正对着平行放置，且板面垂直于纸面，在两板之间接有电阻R.在极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场．当等离子束(分别带有等量正、负电荷的离子束)从左向右进入极板时，下列说法中正确的是()．①N板的电势高于M板的电势②M板的电势高于N板的电势③R中有由b向a方向的电流④R中有由a向b方向的电流A．①②B．③④C．②④D．①③解析本题考查洛伦兹力的方向的判断，电流形成的条件等知识点．根据左手定则可知正电荷向上极板偏转，负电荷向下极板偏转，则M板的电势高于N板的电势．M板相当于电源的正板，那么R中有由a向b方向的电流．答案C图8－3－22．如图8－3－2所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径r相同，则它们一定具有相同的()．A．动能B．质量C．电荷量D．比荷答案D图8－3－33．(2012·南昌高三调研)某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出)，带电小球沿如图8－3－3所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法正确的是()．A．小球一定带正电B．小球可能做匀速直线运动C．带电小球一定做匀加速直线运动D．运动过程中，小球的机械能减少解析本题考查带电体在复合场中的运动问题．由于重力方向竖直向下，空间