考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题

2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。例1：求极限解：利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若,则.考察这个命题，，当时,这个命题是真命题；当时,命题是假命题．对于例1，因为，，所以，证明的结论是错误的．正确解答:.例2：求错误解答:2200011sin(sin)sin1limlimlimsin0xxxxxxxxxxx错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：2211sinsinsin,0xxxxx30tansinlimxxxx3300tansinlimlim0xxxxxxxx~',~'~''limlimlim11lim1lim1sin,tan,''xxx00sinlimlim1tanxxxx2333000tansintan(1cos)12limlimlim2xxxxxxxxxxxx201sin(sin)limxxxx而根据无穷小的比较的定义，当1()xnZn取时，21sin(sin)xx和21sinxx均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x时，22211sin(sin)sinxxxxx，2211sin(sin)sinxxxxxxx0(0)x所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例3：求极限sinlimxxx解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．应该为：sinsinlim0xxx.注意：①乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限．②注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3．巩固相应知识点①无穷小量阶的定义,设lim()0,lim()0xx.(1)若()lim0()xx,则称()x是比)x（高阶的无穷小量.(2)()lim,())()xxxx若则是比（低阶的无穷小量.(3)()lim(0),())()xccxxx若则称与（是同阶无穷小量.(4)()lim1,())()xxxx若则称与（是等价的无穷小量,记为()()xx.(5)()lim(0),0,())()kxcckxxkx若则称是（的阶无穷小量②常用的等价无穷小量(命题重点,历年必考)当0x时,sinarcsintan~,arctanln(1)e1xxxxxxx211cos~2(1)1~xxxx是实常数