量子力学5a-华南师范大学物理与电信工程学院

量子信息学术报告：题目：量子态操控的基本物理问题报告人：孙昌璞研究员中国科学院理论物理研究所南开大学讲座教授时间：4月26日（星期四）下午2：00地点：图书馆学术报告厅越来越肥的Schrodinger’s猫学术报告会之三量子信息学术报告：题目：宏观量子现象和可集成量子计算报告人：于扬教授南京大学长江教授华南师大客座教授时间：4月26日（星期四）下午2：00地点：待定越来越肥的Schrodinger’s猫学术报告会之四摘要：量子力学应用于宏观世界是人类科学探索的重要方向，它不但可以揭示自然界的基本规律，还将带来科技革命。我将介绍超导量子电路中的宏观量子现象，以及它在可集成化的量子计算方面的应用Chap5量子力学中的力学量常见力学量：坐标、动量、角动量、能量经典力学：态直接由力学量的数值表示量子力学：态由波函数表示力学量由它相应的算符来表示力学量有统计分布的性质#1算符及其性质算符是一个运算符号，它代表一种运算，作用在任一函数上得到另一个函数。)()(ˆxvxuFGFuGuFˆˆˆˆ算符相等：GFKuKuGFuGuFˆˆˆˆˆˆˆˆ）（算符相加：GFKuKuGFuGFˆˆˆˆ)ˆ(ˆ)ˆˆ(算符相乘：FGGFGFFGGFˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[:ˆˆˆˆ:对易子算符对易线形算符和厄米算符vFuFvuFˆˆ)(ˆ线性算符：不是。等是线形算符，而yxxx2,,vdxuFvdxFu*)*ˆ(ˆ*厄米或自伴算符：是厄米算符证明：xipxˆ算符的本征值uuFˆErVH)(222力学量对应的算符量子力学基本假设:量子力学中每一个力学量都有一个确定的算符如动量算符/ˆxipppxpxxxxxAeppip能量--能量算符Hamiltonian量子化法则如果量子力学中的力学量F是具有经典对应的力学量,则相应于这个力学量的算符可由经典表示式F(r,p)中将p换成算符得到Fˆipˆ),(ˆ)ˆ,ˆ(ˆˆˆirFprFFipprrrriprLˆˆˆ例：无经典对应的量,如自旋等不对易的乘:)ˆˆˆˆ(21xppxxpx一般要求:力学量对应于线形、厄米算符力学量用线形算符表示，是为了满足态叠加原理力学量是厄米算符：可观察量，必须是实数vdxuFvdxFu*)*ˆ(ˆ*厄米算符：令v=uuuFˆudxuFudxFu*)*ˆ(ˆ*0**)(***udxuudxuudxu厄米算符：本征值是实数如果算符Aˆ是Hermitian的，2ˆA也是Hermitian的。dAdA**)ˆ(ˆ则有dAAdAAdAˆ)ˆ()ˆ(ˆˆ**2*dAdAA*2*)ˆ()ˆˆ(可见2ˆA也是厄密的。厄密算符的定义则#2厄米算符本征函数的正交和完备性两个函数正交的定义：02*1d正交性定理：厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交lklllkkkFFˆˆ****ˆkkkkkFddFddFlkllklkklk****ˆ)*ˆ(0)(*dlklk0*dlklk正交归一kllkd*)'('*d例：一维无限深势阱的波函数是正交归一的)/sin(/2)(axnaxnamnnmdxxx0*)()(完备性完备的正交归一函数系)(xn任何函数可以用它展开成广义傅里叶级数nnnxcx)()(dxxxcnn)()(*展开系数：nnnmnnmnmdxxxcdxxxcdxxx)()()()()()(***nmmnncc#3力学量的统计分布平均值量子力学基本假设：量子力学中，与力学量对应的算符是线形厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当粒子处于任意波函数所描述的状态时，nnnxcx)()(2||,ˆ),()(ˆ)(nnnnnncFFxxFx其相应概率为的本征值之一的结果必是算符测量力学量满足本征值方程其中力学量的平均值dxxFxcFFnnn)(ˆ)(*||2dxxxcdxxxcnnnn)(*)()()(**nnnnnnnndxxxcccF)()(**dxxFxdxxcFxdxxcxnnnnnnn)(ˆ)(*])([ˆ)(*])()[(*离散谱：dxxFxFdcF)(ˆ)(*||2连续谱例：在1维无限深方势阱中，求基态粒子的动量概率分布、动量平均值和动量平方的平均值axax/sin/21）（波函数：2//ipxpe动量算符的本征函数：aaipxppdxeaxadxxxc00/1*sin1)()(/222231)(ipaeapaaaaxpxpxpxp022212*1201*1)(ˆ)(0)(ˆ)(算符的对易关系不对易对易00ˆˆˆˆˆ,ˆFGGFGFixpxppxxxx]ˆ,ˆ[著名的不对易关系：CBACABCBABCACBACBAˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[0],[],[yxpxy角动量的对易关系LiLLˆˆˆzzzxzzxzyplxlpzlpxpzllˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆˆˆ[]ˆ,ˆ[xzylipypziˆ)ˆˆˆˆ(yilxpiplzyxzˆ]ˆ,[ˆ]ˆ,ˆ[海森保不确定性原理如果两个算符不对易,则它们表示的力学量不能同时有确定值GGGFFF,:对平均值的偏差2222)()(:FFFFF均方偏差2224)()(ˆˆˆˆˆ:kGFthenkiFGGFIF证明4)()(:222px关系坐标和动量的不确定度例证明dGiFI2|)ˆˆ(|)(:考虑积分dGdFGGFidFI2**2*2)ˆ()ˆˆˆˆ()ˆ()(0)ˆ()ˆ(222GkF224)0(0bacacbxaxIf2224)ˆ()ˆ(kGF的值求基态时中运动粒子在一维无限方势阱例22)()(,:pxaxaxsin/2)(1aaadxxxxxadxxxxx00212*121*13/)()(2/)()(aaadxxxxpdxxxixp002221222*121*1/)())((0)())((412)()(22222px讨论:#是否有确定的轨道?(x,p)#在某种意义中,经典力学可看成是量子力学在h等于零的极限力学量平均值随时间的变化dxtxFtxF),(ˆ),(*dxtFdxtFdxFtdttFdˆˆˆ)(***]ˆ,ˆ[1ˆHFitF守恒量0]ˆ,ˆ[0ˆHFandtF几个常见的守恒量:自由粒子的动量;粒子在中心力场中的角动量平方;Hamiltonain不显含时间的粒子的能量