考研数学不定积分讲义(卓越资料)

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成1第四章不定积分A基本内容一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念(1)原函数设函数xf和xF在区间I上有定义，若xfxF在区间I上成立，则称xF为xf在区间I上的原函数，(2)不定积分xf在区间I中的全体原函数称为xf在区间I的不定积分，记以dxxf。其中称为积分号，x称为积分变量，xf称为被积函数，dxxf称为被积表达式。2、原函数的存在性设xf在区间I上连续，则xf在区间I上原函数一定存在。初等函数的原函数不一定是初等函数。例如dxx2sin，dxx2cos，dxxxsin，dxxxcos，xdxln，dxex2等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。3、不定积分的性质设CxFdxxf，其中xF为xf的一个原函数，C为任意常数。则（1）CxFdxxF或CxFxdF（2）xfdxxf或dxxfdxxfd（3）dxxfkdxxkf（4）dxxgdxxfdxxgxf二、基本积分公式1．Cxdxx11，实常数12．Cxdxxln1卓越考研卓而优越则成23．Caadxaxxln11,0aaCedxexx4．Cxxdxsincos5．Cxxdxcossin6．Cxdxxxdxtancos1sec227．Cxdxxxdxcotsin1csc228．Cxxdxxsecsectan9．Cxxdxxcsccsccot10．Cxxdxcoslntan11．Cxxdxsinlncot12．Cxxxdxtanseclnsec13．Cxxxdxcotcsclncsc14．Caxxadxarcsin220a15．Caxaxadxarctan1220a16．Cxaxaaxadxln21220a17．Caxxaxdx2222ln0a三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法）设CuFduuf，又x可导，则duufxuxdxfdxxxf令CxFCuF这里要求考生对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。卓越考研卓而优越则成3常用的几种凑微分形式：（1）baxdbaxfadxbaxf10a（2）baxdbaxfnadxxbaxfnnnn110,0na（3）xdxfxdxxflnlnln（4）xdxfxdxxf1112（5）xdxfxdxxf2（6）xxxxadafadxaafln11,0aaxxxxedefdxeef（7）xdxfxdxxfsinsincossin（8）xdxfxdxxfcoscossincos（9）xdxfxdxxftantansectan2（10）xdxfxdxxfcotcotcsccot2（11）xdxfxdxxxfsecsectansecsec（12）xdxfxdxxxfcsccsccotcsccsc（13）xdxfdxxxfarcsinarcsin1arcsin2（14）xdxfdxxxfarccosarccos1arccos2（15）xdxfdxxxfarctanarctan1arctan2（16）xarcdxarcfdxxxarcfcotcot1cot2（17）xdxfdxxxf1arctan1arctan11arctan2卓越考研卓而优越则成4（18）22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf0a（19）22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf0a（20）Cxfdxxfxfln0xf2、第二换元积分法设tx可导，且0t，若CtGdtttf，则CxGCtGdtttftxdxxf1令其中xt1为tx的反函数。第二换元积分法主要使用在以下情况：(1)、幂代换被积函数是x与nbax或x与ndcxbax或由xe构成的代数式的根式，例如baex等。只要令根式txgn，解出tx已经不再有根式，那么就作这种变量替换tx即可。(2)、三角代换被积函数含有02ACBxAx，如果仍令tCBxAx2解出tx仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0A时先化为220lxxA，0A时，先化为202xxlA然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）22xataxsin22xataxtan卓越考研卓而优越则成522axtaxsec值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简单。例1、22222221axdaxdxaxxCaxCuduuuax3222322313121令例2、2222222222222121dtatttaxaxdxaxdxxax令dtatadtatt2222221CxaaxaaaaxCtataat222222ln2ln2例3、22221111101xxdxxdxxxxdxCxxCtttdttx222111ln1ln11令(3)、倒代换1tx(4)、指数代换axte3、分部积分法设xu，xv均有连续的导数，则xduxvxvxuxdvxu或dxxvxuxvxudxxvxu使用分部积分法时被积函数中谁看作xu谁看作xv有一定规律。（1）axnexP，axxPnsin，axxPncos情形，xPn为n次多项式，a为常数，卓越考研卓而优越则成6要进行n次分部积分法，每次均取axe，axsin，axcos为xv；多项式部分为xu。（2）xxPnln，xxPnarcsin，xxPnarctan情形，xPn为n次多项式取xPn为xv，而xln，xarcsin，xarctan为xu，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（3）bxeaxsin，bxeaxcos情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和dx凑成xdv。B典型例题一、直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。例1、求dxxx21例2、求下列不定积分（1）dxxx1124（2）1xxdx（3）232xxdx（4）122xxdx例3、求dxxxx32532例4、求下列不定积分（1）xdx2tan（2）xxdx22cossin卓越考研卓而优越则成7例5、求下列不定积分（1）dxx2sin2（2）dxxxxsincos2cos（3）dxxxx22cossin2cos（4）dxxx2cos1cos12分析：三角函数中的倍角公式1cos2sin21sincos2cos2222xxxxx，在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。上述四个题都是用倍角公式进行化简，再用基本积分公式积分。二、第一换元积分法例1、求下列不定积分（1）正整数,111ndxxxn（2）dxxxx1322（3）dxxxx23122例2、求下列不定积分（1）xdx4cos（2）xdx5cos（3）xdxx52cossin（4）xdxx42cossin例3、求下列不定积分：（1）dxeexx1（2）dxeexx1卓越考研卓而优越则成8（3）dxex11（4）dxex211分析：这四个题中均含有xe，而xxdedxe，因而可以用凑微分的方法积分。例4、求下列不定积分（1）xexdx12（2）dxxxx1lnln23（3）dxxxx151ln22（4）dxxxx2lnln1例5、求下列不定积分（1）dxxxx21arcsinarcsinln（2）dxxxx1arctan（3）xxdxsin22sin（4）dxxxsin1sin例6、求下列不定积分（1）11xxdx（2）dxxx3231（3）dxxx10021（4）32211xxxdx卓越考研卓而优越则成9三、第二换元积分法例1、求3xxdx例2、求下列不定积分（1）2321xdx（2）dxxa220a（3）2322axdx0a（4）422xxdx例3、求下列不定积分（1）0adxxaxa（2）02adxxaxx（3）abxbaxdx（4）abdxxbax卓越考研卓而优越则成10四、分部积分法（有时还用了换元积分法）例1、求下列不定积分（1）dxxex（2）dxexx22（3）dxexx23（4）xdxxcos（5）xdxx2sin2（6）xdxxxcos132例2、求下列不定积分（1）xdxxnln（1n）（2）xdxarcsin（3）xdxarctan（4）xdxxarctan