考研数学之微分中值定理与导数的应用

1考研数学之微分中值定理与导数的应用来源：文都教育微分中值定理可以说是考研整个高数部分的重点内容，也是难点内容，知识点琐碎，题型灵活多变而且技巧性很强，很多同学在这一部分复习的时间很长，但是最后还是觉得复习的不是很好。下面文都数学老师大致总结一下本章经常考的题型和做题方法。核心题型题型一证明函数恒等于常数若'()0fx，则()Cfx（C为常数）．常用：arcsinarccos2xx；arctancot2xarcx．例:证明：313arccosarccos(34)(||)2xxxx．题型二不等式的证明（1）利用函数的单调性例证明：当0x时，ln(1)xx．（2）利用函数的最值：求出函数()fx在给定区间内的最大值M、最小值m，则函数在该区间内满足()mfxM．例证明：111ln(1)xx，当10xx且时成立．（3）利用函数的凸凹性：如果要证明的不等式中包含形如122xxf、121[()()]2fxfx的项，那么往往可以找到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式．例已知0x，0y且xy，证明：lnln()ln2xyxxyyxy．（4）利用微分中值定理证明：当不等式或其适当变形中有函数值之差()()fbfa时，2一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值()()()()fbfagbga时，可考虑用柯西中值定理．例设2eabe，证明：222lnln4babae．（5）利用Taylor公式如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过Taylor公式将函数展开来进行证明．例已知02x，求证211cos12xx．题型三方程根的讨论（1）存在性，一般用零点定理；（2）唯一性，用单调性．例证明方程tan1xx在(0,1)内有唯一实根．题型四()()0nf（1）验证为(1)()nfx的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费马引理可得证例（导数零点定理）设()fx在[,]ab上可导，''()()0fafb，证明：存在一点，使'()0f．（2）验证(1)()nfx在包含x于其内的区间上满足罗尔定理例设()fx在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，又(0)(1)(2)3,(3)1ffff．证明：(0,3)，使得'()0f．（3）利用Taylor公式例设()fx在[1,1]上有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,'(0)0fff，证明：3(1,1)，使得'()0f．题型五至少存在一点(,)ab，使得()()(0)nfkk或由(),,(),(),,(),'(),,()nabfafbfff所构成的代数式成立（1）做辅助函数()Fx；（2）验证()Fx满足罗尔定理．辅助函数()Fx的做法有如下两种：（原函数法）①将改为x；②将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分的形式）；③作一次积分，移项，使得等式一端为0，另一端即为辅助函数（为简便，积分常数取0）．例设()fx在[0,1]内可导，且(0)(1)0ff，证明：(0,1)，使得'()()0ff．（常数k值法）①令常数部分为k；②作恒等变形，使等式一端为a及()fa构成的代数式，令一端为b及()fb构成的代数式；③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把a（或b）改成x，相应的函数值()fa（或()fb）改成()fx，则变量代换后的表达式即为辅助函数．例设()fx在[,]ab上可导，证明：(,)ab，使得'()()0ff．题型六在(,)ab内，至少存在,()满足某个代数式证法：用两次拉格朗日中值定理；或用一次拉格朗日中值定理，用一次柯西中值定理；4或用两次柯西中值定理．辅助函数利用分离变量法，使等式一端只含有的式子，另一端只含有的式子，然后再结合原函数法分析．例设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，()()1fafb，证明：,(,)ab，使得[()'()]1eff．以上是文都考研数学老师总结的本章的主要内容和题型，这一部分复习关键在于要多多总结方法和技巧，每一道题，多想几种方法，有助于扩展思路。希望以上内容对大家有所帮助。