考研数学之微积分在经济学中的应用

考研数学之微积分在经济学中的应用来源：文都教育这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。一、差分方程1、定义设函数).(tyyt称改变量ttyy1为函数ty的差分,也称为函数ty的一阶差分,记为ty,即tttyyy1或)()1()(tytyty.一阶差分的差分称为二阶差分ty2,即ttttyyyy12)(.2)()(12112tttttttyyyyyyy类似可定义三阶差分,四阶差分,……),(),(3423ttttyyyy2、差分方程的概念一般形式：0),,,,,(2tntttyyyytF或.0),,,,,(21nttttyyyytG差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.特别的，称1(x)y(x)xxyPf为一阶差分方程，同样的，(x)0f为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程.3、一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1tfayytt，其中常数0a，)(tf为t的已知函数，当)(tf不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程；当0)(tf时，差分方程：01ttayy称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。4、解法（1）求齐次差分方程的通解把方程01ttayy写作ttyay)(1，假设在初始时刻，即0t时，函数ty取任意常数C。分别以,2,1,0t代入上式，得210200()(),()()()()0,1,2,tttyayCayayCayayCat，，。通解为：(a)ttyC特别地，当1a时，齐次差分方程（3）的通解为：Cyt，,2,1,0t。（2）求非齐次线性差分方程的通解情形一：btf)(为常数此时，非齐次差分方程可写作：byaytt)(1。分别以,2,1,0t代入上式，得])()()(1[)(])()(1[)()()](1[)()()(12020323021201tttaaabyayaabyabyayabyabyaybyay。若1a，得：abaCababyayttt1)(1)1()(0，,2,1,0t，其中abyC10为任意常数。若1a，得：btCbtyyt0，,2,1,0t，其中0yC为任意常数。综上讨论，差分方程bayytt1的通解为：。，1,1,1)(abtCaabaCyt情形二：)(tf为一般情况此时，非齐次差分方程可写作：)()(1tfyaytt。分别以,2,1,0t代入上式，得：。，，，)1()()()1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1021020323021201ktfaaCtftfafafayayffafayafyayffayafyayfyaytkkttttt情形三：(x)P(x)bxnf当ba时，令特解为*(x)bxnyQ；当ba时，令特解为*(x)bxnyxQ二、经济数学中的五大函数1、总体成本函数(Q)C：假设供需平衡且没有产品积压的情形下，总体成本C和产品产量Q构成函数关系，记为：01(Q),C(Q)C(Q)CCC,0C为固定成本，1C为可变成本.2、总体收入函数(Q)R：当产品单价为P的时候，收入函数为(Q)QP(Q)R3、总体利润函数：(Q)(Q)C(Q)LR4、需求函数dQ：在一定条件下，消费者愿意购买并有支付能力的商品量，(P)ddQQ，需求函数是单价的单调递减函数.5、供给函数：sQ：(P)ssQQ，供给函数是单价的单调递增函数.三、边际与弹性1、边际函数：'(x)f，研究绝对变化率；0'(x)f称为在0x处的边际值.2、弹性函数：'(x)(x)fxf，研究相对变化率；经济函数边际函数弹性需求函数(P)ddQQ边际需求'(P)ddQQ需求弹性：'(P)(P)QPQPQ供给函数(P)ssQQ边际供给'(P)ssQQ供给弹性：'(P)(P)QPQPQ成本函数01(Q),C(Q)C(Q)CCC边际成本1'(Q)C收入函数(Q)QP(Q)R边际收入'(Q)P(Q)QP'(Q)R注解：当1QP时，称为高弹性，价格变动对收益函数没有明显的影响；反之有明显影响.例（15数三）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，p为价格，MC为边际成本，为需求弹性（0）.（Ⅰ）证明定价模型为:11MCp（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,CQQ需求函数为40,Qp试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格.（答案：11MCP，30P【解】（I）总收益为PQR，收益对价格的弹性为)(1dPdQPQQdPdRPRPRdPdREPER11dPdQQP，收益对需求的弹性为11)(1)(dQdPQPPQRdQdREQPQEEQER，又11dQdRPQQdQdRRQEQER，而边际成本为MCPdQdR)11(，故11MCP。（II）QMC2，PPQP40)1(，由)40(2)11(PP得30P。根据往年考试题目，这一部分经常考的是边际和弹性相关的题目，所以数三的考生对一部分可以多练习一下。推荐看的教材是；经济类数学微积分。以上是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对大家有所帮助。