考研数学多元函数微分法及其应用(卓越资料)

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成1第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数、极限、连续性1多元函数的概念(1)定义：设D是平面上的一个非空子集，称映射RDf:为定义在D上的二元函数，记为),(yxfz，Dyx),(，其中点集D称为函数的定义域，集合}),(,),({)(DyxyxfzzDf称为函数的值域．类似可定义三元函数(,,)ufxyz．(2)几何意义二元函数),(yxfz表示空间的曲面，例如22yxz的图形为旋转抛物面；221yxz的图形为上半球面．2二元函数的极限(1)定义：设(,)zfxy在00(,)xy的去心邻域有定义，若对任意0，存在0，使得当22000()()xxyy时，有(,)fxyA，则称A为函数),(yxf当),(),(00yxyx时的极限，记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00．【概念理解点睛】(1)二元函数的极限只有当动点(,)xy以任意方式趋于00(,)xy时(,)fxy的极限都为A时才存在．(2)若可找到两条不同路径沿其(,)xy趋近于00(,)xy时(,)fxy的极限不相等，则二元函数的极限不存在。特别，当00(,)(0,0)xy时选择ykx，若极限与k有关，则二元函数的极限不存在．【例】22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxy，证明：(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在．卓越考研卓而优越则成2(3)即使沿着ykx函数的极限存在且相等也不能说明二元函数的极限是存在的．【例】362(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy，证明：(,)(0,0)lim(,)xyfxy不存在．(2)计算可借助一元函数求极限的方法求二元函数的极限1）利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2）消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）；3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.【例】22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy，求(,)(0,0)lim(,)xyfxy．3多元函数的连续性(1)定义：设二元函数(,)zfxy在00(,)xy的邻域有定义，若),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称函数),(yxf在点),(000yxP连续．如果函数),(yxf在D的每一点都连续，则称函数),(yxf在D上连续，或者说),(yxf是D上的连续函数．(2)多元函数在有界闭区域上的性质1有界性：在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上有界．2最大值与最小值定理：在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上取得它的最大值和最小值．3介值定理：有界闭区域D上连续的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值．(3)二元初等函数在定义区域内连续．常考题型二元函数的二次极限卓越考研卓而优越则成3【例1】求下列极限：(1)21lim(1)xxyxyaxy，其中0a．(2)．【例2】证明：yxyxyx00lim不存在．【例3】设221sin3(,),0,1tanxyyyfxyxxyxx则0lim(lim(,))yxfxy=．二、多元函数的偏导数与全微分1偏导数的概念（1）定义：设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00(,)xfxy即0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx类似，函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数定义为0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy．如果函数在定义域内每点偏导数都存在，则称(,)xfxy(,)yfxy为偏导函数．(2)偏导数的几何意义(数一二)由偏导数的定义，00(,)xfxy可看成函数),(0yxfz在0x处的导数，根据导数的几何意义，00(,)xfxy是曲线0),(yyyxfz在),(000yxM处的切线对x轴的斜率．同理，00(,)yfxy是曲线0),(xxyxfz在),(000yxM处的切线对y轴的斜率．(3)偏导数存在和连续的关系偏导数存在推不出函数连续，函数连续也推不出偏导数存在．22220011limyxyxyx卓越考研卓而优越则成4【例】判断22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxy，(,)gxyxy在(0,0)的连续性与偏导数的存在性．【概念理解点睛】00(,)xfxy存在虽然推不出函数连续，但是可以推出00lim(,)xxfxy00(,)fxy，即(,)fxy在00(,)xy对x是连续的．（4）高阶偏导数一般情况，函数),(yxfz的两个偏导数),(yxfx和),(yxfy仍然是x,y的函数。因此，可以考虑),(yxfx和),(yxfy的偏导数，即二阶偏导数，依次记为),()(22yxfxzxzxxx，),()(2yxfyxzxzyyx),()(2yxfxyzyzxxy，),()(22yxfyzyzyyy若函数(,)zfxy的两个二阶混合偏导数22,zzxyyx在某区域内均连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．【概念理解点睛】二阶混合偏导数连续的时候一定要合并．2、全微分(1)定义：如果函数),(yxfz在点00(,)xy处的全增量00(,)zfxxyy00(,)fxy可表示为)(oyBxAz，其中A、B不依赖于x、y而仅与0x、0y有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点00(,)xy可微分，且称yBxA称为函数),(yxfz在点00(,)xy的全微分，记为dz，即00(,)xydzAxBy．【概念理解点睛】如果函数),(yxfz在点00(,)xy处可微分，则函数),(yxfz在点卓越考研卓而优越则成500(,)xy处连续．(2)可微的必要条件如果函数),(yxfz在点00(,)xy可微分，则函数),(yxfz在点00(,)xy的偏导数xz、yz存在，而且有000000(,)(,)(,)xyxyxyzzdzdxdyzy．对于可微分的三元函数),,(zyxfu，也有dzzudyyudxxudu．(3)可微的充分条件如果函数),(yxfz的偏导数,zxyz在点00(,)xy连续，则函数在该点可微．(4)可微的等价定义若函数),(yxfz在点00(,)xy处的,zxyz存在，且00002200(,)(,)lim()()xyxyzfxyxfxyyxy0则),(yxfz在00(,)xy可微．【例】设22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxygxyxy，22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy，判断函数在(0,0)是否可微【方法理解点睛】利用全微分形式不变性可以来求隐函数的全微分和偏导数．４几个关系一阶偏导数连续可微偏导数存在连续性常考题型讨论连续性、可导性、可微性【例1】考虑二元函数),(yxf的下面4条性质：①处连续在点),(),(00yxyxf②处的两个偏导数连续在点),(),(00yxyxf卓越考研卓而优越则成6③处可微在点),(),(00yxyxf④处在点),(),(00yxyxf的两个偏导数存在。若用“QP”表示可由性质P推出性质Q，则有（）（A）②③①（B）③②①（C）③④①（D）③①④【例2】设则在点(A)不连续；(B)连续但不可导；(C)可导但不可微；(D)可微.【例3】二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（A）.（B），且.（C）.（D），且.三、多元函数微分法1利用定义求偏导数【例】设()yxzxe，则(1,0)zx．【方法理解点睛】(1)分段函数用定义求偏导数．,)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222yxyxyxyxyxf),(yxf)0,0(),(yxf0)]0,0(),([lim)0,0(),(fyxfyx0)]0,0()0,(lim0xfxfx0)]0,0(),0(lim0yfyfy0)0,0(),(lim22)0,0(),(yxfyxfyx0)]0,0()0,([lim0xxxfxf0)]0,0(),0([lim0yyyfyf卓越考研卓而优越则成7(2)求函数在某点的偏导数时，可先“代值”后求导，也可以先求偏导函数，在“代值”．2复合函数求偏导(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，z对,uv有连续偏导数，,uv对,xy偏导数存在，则(,)(,)uvzuvfuvfuvxxx，(,)(,)uvzuvfuvfuvyyy记法：(1)链式法则图(2)结构法：复合函数求偏导数等于若干项之和，其项数取决于中间变量的个数，每一项是两个偏导数的乘积．【例】(,,),(,),(,)zfxuvuuxyvvxy，求zx，22zx【方法理解点睛】(1)f对第一中间变量的偏导数uf经常记为1f，同理vf记为2f，uuf记为11f．(2)uf还是以uv、为中间变量xy、为自变量的复合函数，故其对xy、求偏导数的时候还是利用复合函数求偏导的链式法则．3隐函数求偏导(1)由方程所确定的隐函数求导①一元隐函数设(,)0Fxy，且(,)Fxy在00(,)xy的某邻域具有连续的一阶偏导数，且00(,)0Fxy，若00(,)0yFxy，则存在()yyx，且xyFdydxF，其中,xyFF是二元函数(,)Fxy对,xy的偏导数．②二元隐函数(,,)0,Fxyz且(,,)Fxyz在000(,,)xyz的某邻域有连续的一阶偏导数，且000(,,)Fxyz0，若000(,,)0zFxyz，则存在(,)zzxy，且,yxzzFFzzxyFF，其中,,xyzFFF是三元函数(,,)Fxyz对,,xyz的偏导数．卓越考研卓而优越则成8【例】设由方程,,0Fxyyzzx确定隐函数,zzxy，求,zzxy及dz．(2)方程组所确定隐函数求导(数一、二)每个方程两边对同一自变量求导，然后用解方程组的方法求解．4全微分形式不变性(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则zzzzdzdxdydudvxyuv．全微分运算法则：()duvdudv()duvvduudv2()uvduudvdvv．【例】设方程可确定函数,求.常考题型1求一点处的偏导数与全微分:2求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分3含有抽象函数的偏导数与全微分4隐函数的偏导数与全微分【例1】设,求和.)32(和【例2】设,则)(dydx【例3】求下列偏导数(1)sinxxzey求,zzxy．0),(yzzxF),(yxzzyzxz和22132),(yxxyyxyxf)0,0(xf)0,0(yf),,(zyxfzyx.)1,1,1(df卓越考研卓而优越则成9(2)设,求及.【例4】(09,1)设函数,fuv具有二阶连续偏导数，,zfxxy，求2zxy.．【例5】设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数