考研数学导数讲义(卓越资料)

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成1第二章导数与微分A基本内容一、导数1、导数的定义(1)定义：设函数xfy在点0x的某邻域内有定义，自变量x在0x处有增量x，相应地函数增量00xfxxfy，如果xxfxxfxyxx0000limlim存在，则称此极限值为函数xf在0x处的导数，记作0xf，或0xxy，0xxdxdy等，反之称函数在0x点不可导(2)导数定义等价形式令xxx0，0xxx，则0000limxxxfxfxfxx(3)左右导数右导数：xxfxxfxxxfxfxfxxx000000limlim0左导数：xxfxxfxxxfxfxfxxx000000limlim0可导的充要条件：xf在点0x处可导00fxfx(4)导函数的定义若()fx在开区间(,)ab内的每一点x处的导数fx都存在，则称()fx在(,)ab内可导，并称,(,)fxxab为导函数若()fx在开区间(,)ab内可导，且(),()fafb都存在，则称()fx在[,]ab上可导。2．导数的几何意义与物理意义如果函数xfy在点0x处导数0xf存在，则在几何上0xf表示曲线xfy在点00,xfx处的切线的斜率。卓越考研卓而优越则成2切线方程：000xxxfxfy法线方程：0001xxxfxfy00xf设物体作直线运动时，路程S与时间t的函数关系为tfS，如果0tf存在，则0tf表示物体在时刻0t时的瞬时速度。3、函数的可导性与连续性之间的关系如果函数xfy在点0x处可导，则xf在点0x处一定连续，反之不然，即函数xfy在点0x处连续，却不一定在点0x处可导。例如，xxfy，在00x处连续，却不可导。4、导数的计算(1)、基本初等函数的导数公式(见课本)(2)、四则运算法则xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxgxfxgxfxgxf20xg(3)、复合函数运算法则设ufy，xu，如果x在x处可导，uf在对应点u处可导，则复合函数xfy在x处可导，且有xxfdxdududydxdy(4)、由参数方程确定函数的运算法则(数一、二)设tx，ty确定函数xyy，其中t，t存在，且0t，则ttdxdy0t(5)、反函数求导法则设xfy的反函数ygx，两者皆可导，且0xf则ygfxfyg110xf卓越考研卓而优越则成3(6)、隐函数运算法则设xyy是由方程0,yxF所确定，求y的方法如下：把0,yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允许出现y变量）(7)、对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数xgxfy常用的一种方法xfxgeyln这样就可以直接用复合函数运算法则进行。关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。(8)、高阶导数如果函数xfy的导数xfy在点0x处仍是可导的，则把xfy在点0x处的导数称为xfy在点0x处的二阶导数，记以0xxy，或0xf，或022xxdxyd等如果xfy的1n阶导数的导数，称为xfy的n阶导数记以ny，xfn，nndxyd等，这时也称xfy是n阶可导。二、微分1、微分的定义：设函数xfy在点0x处有增量x时，如果函数的增量00xfxxfyAxox其中A为与x无关的数，ox是0x时比x高阶的无穷小。则称xf在0x处可微，把y中的主要线性部分Ax称为xf在0x处的微分，记为0xxdy或0xxxdf我们定义自变量的微分dx就是x。2微分的几何意义卓越考研卓而优越则成400xfxxfy是曲线xfy在点0x处相应于自变量增量x的纵坐标0xf的增量，微分0xxdy是曲线xfy在点000,xfxM处切线的纵坐标相应的增量（见图）。3、可微与可导的关系xf在0x处可微xf在0x处可导。且dxxfxxAxxdy000一般地，xfy则dxxfdy，所以导数dxdyxf也称为微商，就是微分之商的含义。B典型例题一、有关导数定义的判断例1、函数)(xf在0x点可导的一个充分条件是(A))(1lim00xfhxfhh存在;(B)hhxfhxfh)()2(lim000存在；(C)hhxfhxfh)()(lim000存在;(D)hhxfxfh)()(lim000存在。例2、设函数fx在0x处连续,且220lim1hfhh,则（）(A)'000ff且存在(B)'010ff且存在(C)'000ff且存在(D)'010ff且存在卓越考研卓而优越则成5二、用导数定义求导数例1、设xgaxxf，其中xg在点a处连续，求af。解：没有假设xg可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义axxgaxaxafxfafaxax0limlimagxgaxlim例2、设)()()(xgxfxF，其中)(xf可导，且,0)()(00xfxf)(xg有界，求)(0xF．例3、()(1)(2)(100)fxxxxx，求(100)f。三、分段函数在分段点处可导性例1、设21sinsin,0,()ln(1),0,xxxfxxxx求(0)f例2、设函数1,1,2xbaxxxxf试确定a、b的值，使xf在点1x处可导。例3、设32,,maxxxxxf，在2,0内求xf。卓越考研卓而优越则成6四、用各种运算法则求导数1、运用四则运算和复合函数求导法则例1．求下列函数的导数：（1）221ln1xxxy；（2）221cos()sinyxx；（3）xxy2cos12sin；例2、求下列函数的微分（1）xeyxsin2；（2）1lnarctan22xxy。例4、设xf可微，xfexfyln，求dy2．运用隐函数求导法则例1．设xyy由方程xyeyx22arctan所确定，求dxdy和dy解：对方程两边关于x求导，y看作x的函数，按中间变量处理xxexyeyyyxyx2221122222222212212yxxexyeyxyyxx卓越考研卓而优越则成7xxxxeyxxxyxxyxyeyxyyxxexyy2222222222221244112122于是，dxeyxxxyxxyxydyxx22222212441例2、设函数()yfx由方程1yyxe所确定，求(0)f。3、运用对数求导法则例1、设0xyxx，求dxdy例2、求32121xexxxxyx的导数y解：xexxxxyxln1ln2ln1lnln31ln2对x求导，得xeexxxxxyyxx112211113112因此，xeexxxxxxexxxxyxxx1122111112131232例3、设xyy由方程xyyx所确定，求dxdy五、高阶导数1、求二阶导数例1、设22lnaxxy求y卓越考研卓而优越则成8例2、设xyy由方程122yx所确定，求y解：022yyx，yxy2221yyxyyyxyy33221yyxy例3、试从1dxdyy导出223()dxydyy。2、求n阶导数（2n，正整数）先求出,,,yy总结出规律性，然后写出ny，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）xeyxney（2）1,0aaayxnxnaayln（3）xysin2sinnxyn（4）xycos2cosnxyn(5)xylnnnnxny!111两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式nkknkknnxvxuCxvxu0其中!!!knknCkn，xuxu0，xvxv0假设xu和xv都是n阶可导。卓越考研卓而优越则成9例1、设kxy（k正整数）求ny（n正整数）解：,,0,,11knknxnkkkynkn例2、设2312xxy求ny（n正整数）例3、设2()cosfxxx，求(100)(0)f六、导数的几何应用例1、设函数()yfx由方程2cos()1xyexye所确定，则曲线()yfx在点(0,1)出的切线方程是_____________例1、设()fx为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12xffxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线斜率为________.