考研数学常微分方程讲义(卓越资料)

卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编卓越考研卓而优越则成1第七章常微分方程§7．1基本概念和一阶微分方程A基本内容一、基本概念1、常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程。2、微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3、微分方程的解、通解和特解(1)解的定义：满足微分方程的函数称为微分方程的解；(2)通解：含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解，但不一定是全部解；(3)特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4、微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5、积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。二、变量可分离方程及其推广1、变量可分离的方程(1)方程形式：0yQyQxPdxdy或02211dyyNxMdxyNxM(2)解法：先分离变量，再积分。通解CdxxPyQdy注：1、在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）2、求出通解，要注意化简。2、齐次方程(1）方程形式：xyfdxdy(2)解法：令uxy，则ufdxduxudxdy卓越考研卓而优越则成2cxcxdxuufdu||ln3、一阶线性方程(1)、一阶线性齐次方程0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解公式dxxPCey，（c为任意常数）(2)、一阶线性非齐次方程xQyxPdxdy用常数变易法可求出通解公式令dxxPexCy，代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxPB典型例题一、变量可分离方程与齐次微分方程例1、求下列微分方程的通解。（1）022dyyxydxxxy（2）0dyeedxeeyyxxyx例2、求下列微分方程的通解。（1）xyedxdyxy（2）dxdyxydxdyxy22（3）xyydxdyxlnln例3、求微分方程22yxxydxdy卓越考研卓而优越则成3例4、求微分方程232211ydxdyxxy的通解。例5、求微分方程2222yxyxxyydxdy的通解。二、一阶线性方程例1、求下列微分方程的通解（1）25112xxydxdy（2）xydxdyxsin2（3）4yxydxdy解：（1）通解为22722311321132xCxxCxy（2）直接用通解公式（先化标准形式xxyxdxdysin2）xxP2，xxxQsin通解Cdxexxeydxxdxx22sinCxxxxCxdxxxcossin1sin122（3）此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程yyxdydx4即31yxydydx是一阶线性方程yyP1，3yyQCyyCdyeyexdyydyy413131例2、设函数()yx连续，求解方程：201()()2xysdsyxx．卓越考研卓而优越则成4