考研数学用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

1考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A：对(,)AE作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即1(,)(,)rAEEA，由此即求得1A；2、用初等列变换求逆矩阵1A：求1A也可用初等列变换，对AE作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为1A，即1cAEEA，由此即求得1A；3、用初等行变换求1AB：对(,)AB作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时矩阵B就变为1AB，即1(,)(,)rABEAB，由此即求得1AB；4、用初等列变换求1BA：对AB作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时矩阵B就变为1BA，，即1cAEBBA，由此1BA此即求得1BA.2上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取BE即得1）和2）。下面只要证明3）和4）即可。证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等行变换得到单位矩阵E相当于A左乘一个可逆阵P，使PAE，这时1PA，1(,)(,)(,)(,B)PABPAPBEPBEA，即1(,)(,)rABEAB；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等列变换得到单位矩阵E相当于A右乘一个可逆阵P，使APE，这时1PA，1AAPEPBBPBA，即1cAEBBA.二、典型实例例1.设011111112A，求1A.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011rrAE1111010100312011100010111(,)001211001211rrEA，故1312111211A.例2.解矩阵方程211113210432111X.3解：记上面的方程为XAB，因为0A，所以A可逆，1XBA，对AB作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325cccAB100100100110010110101001103121221123282352355333ccc，故122182533XBA.矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。在上面计算1AB和1BA的方法中，我们分别通过初等行变换和列变换一次性求出其结果，这显然比先求出1A然后求乘积1AB和1BA要简捷方便，在考试中也能节省时间和提高解题速度。最后祝愿各位考研成功。