考研数学真题解析极限部分

2014考研数学真题解析·极限部分文章来源：文都教育高数在考研数学中占据着重要的位置，在150分的考题中，高数在数一和数三占取82分的分值，高数在数二中占取116分的分值，而极限是贯穿高数的一个工具，是高数的基础，很多老师都说学好极限是学好高数的前提。由于极限的重要地位，使得极限是每年必考的知识点。常考的题型有：1）直接计算各种极限；2）利用准则证明极限的存在性，并求极限；3）极限的局部逆问题，即给定极限值，反过来确定式子中的常数；4）无穷小量阶的比较和确定，能够确定谁是更高阶的无穷小量、阶数是多少；5）讨论函数的连续性，能够找到间断点，并判断间断点的类型；6）求函数的渐近线；7）利用洛必达法则求未定式极限，经常和变上限函数结合；8）重视导数的定义、定积分的定义和极限的联系；9）极限的定义；下面文都教育老师来解析一下今年高数中关于极限的题目。（数一、数二、数三）（1）下列曲线中有渐近线的是（）（A）sinyxx.(B)2sinyxx.(C)1sinyxx.(D)21sinyxx.【解析】此题是判断渐近线的题目，实质上考查的就是渐近线的定义以及求极限的知识。1sin()11limlimlim(1sin)1xxxxfxxaxxxx11lim[()]lim[sin]limsin0xxxbfxaxxxxx∴y=x是y=x+1sinx的斜渐近线。（数一、数二、数三）（2）求极限)11ln(])1([lim2112xxdttetxtx。【解析】此题是直接求极限的题目，考查求极限的基本方法，利用无穷小代换和洛必达法则求未定式极限。1122112211111xxttxx[t(e)t]dt[t(e)t]dtlimlimxln()xxx=1211xtx[t(e)t]dtlimx121xxlim[x(e)x]122001111122xxttttlimx(e)xetelimlimtt（数二）（3）当x→0+时，若1ln(12),(1-cos)xx均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是（）（A）），（2（B）（1，2）（C）），（121（D））（210，【解析】此题考查的是高阶无穷小和等价无穷小的考点，属于基础题。当x→0+时，ln12~2xx，111211(1cos)~()()22xx·2x∴21112.且。（数三）（4）设lim,0naaa且，则当n充分大时有（）（A）na||2a（B）||||2naa(C)1naan(D)1naan【解析】此题考查的是数列极限的定义，看起来不知道如何突破，其实就是利用一个三角不等式ababab进行放缩就可以了。limnxaa0.NNstnN时，有||naa即.||||||||nnaaaaaa取||3a.有2||||32naaa。（数三）（5）设220Pxabxcxdxx，当时，若Pxtanx是比3x高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（）（A）0a（B）1b（C）0c（D）16d【解析】此题考查的是高阶无穷小的知识，可以用泰勒公式展开或是洛必达法则的适用条件进行确定参数的值。法1：由泰勒公式331tan()3xxxox得23333001(1)()()()tan3limlim0xxabxcxdxoxPxxxx，10,1,0,,3abcd故选（D）.法2：由条件及222320000()tan23seclimtan0,0,limlim,limsec1,3xxxxPxxbcxdxxxaxxx知又b=1,同理，再用洛比达法则可得10,,3cd故选（D）.通过解析这5道题目，同学们发现题目本身并不难，解题过程中用到的知识点我们也都知道，是什么原因导致题目失分呢？这是2015学生需要深思的一个问题。这是老师给予2015的学员的一个建议，在平时复习中一定要深刻理解每一个知识点，对于它的定义、性质及常用它解决题目的方法一定要掌握，这样做题的时候才能游刃有余。