考研数学线性代数概念性质定理公式整理1

1概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nTArAnAAAxxAxAAxAAAE可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0只有零解，0总有唯一解是正定矩阵R12,siAppppnBABEABE是初等阵存在阶矩阵使得或○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.()ArAnAAAAxA不可逆0的列（行）向量线性相关0是的特征值有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量○注()()abraEbAnaEbAaEbAx有非零解=-具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√关于12,,,neee：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p教材；②12,,,neee线性无关；③12,,,1neee；④tr=En；⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.2行列式的定义1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa1√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaO1（即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxx111矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为mn矩阵.记作：ijmnAa或mnA伴随矩阵1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，ijA为A中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①1AAA○注：1abdbcdcaadbc1主换位副变号3②1()()AEEA初等行变换③1231111213aaaaaa3211111213aaaaaa√方阵的幂的性质：mnmnAAA()()mnmnAA√设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，则msABC1112121222121212,,,,,,ssnsnnnsbbbbbbcccbbbiiAc，(,,)is1,2i为iAxc的解121212,,,,,,,,,sssAAAAccc12,,,sccc可由12,,,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，TA为系数矩阵.即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac√用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵：111AABB111ABBA1111ACAACBOBOB1111AOAOCBBCAB分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAA4分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB*(1)(1)mnmnAABBBA√矩阵方程的解法(0A)：设法化成AXBXAB(I)或(II)ABEX初等行变换(I)的解法：构造()()TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p教材.⑥向量组12,,,n中任一向量i(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.⑦向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.向量组12,,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示.⑧m维列向量组12,,,n线性相关()rAn；m维列向量组12,,,n线性无关()rAn.⑨若12,,,n线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵⑪矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：5对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作()rAr向量组的秩向量组12,,,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)nr矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB向量组等价12,,,n和12,,,n可以相互线性表示.记作：1212,,,,,,nn⑫矩阵A与B等价PAQB，,PQ可逆()(),,,rArBABAB为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnrr1212(,,,,,,)nnr矩阵A与B等价.⑬向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示AXB有解12(,,,)=nr1212(,,,,,,)nsr12(,,,)sr≤12(,,,)nr.⑭向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且sn，则12,,,s线性相关.向量组12,,,s线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s≤n.⑮向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr12(,,,)nr,则两向量组等价；p教材94,例10⑯任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑰向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑱若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑲设A是mn矩阵,若()rAm，A的行向量线性无关；若()rAn，A的列向量线性无关,即：12,,,n线性无关.√矩阵的秩的性质：①()AOrA若≥1()0AOrA若0≤()mnrA≤min(,)mn②6()()()TTrArArAAp教材101,例15③()()rkArAk若0④()(),,()0mnnsrArBnABrABBAx若若0的列向量全部是的解⑤()rAB≤min(),()rArB⑥()()()()ArABrBBrABrA若可逆若可逆即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()mnAxrABrBrAnABOBOAABACBC只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()nsrABrBrBnB在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrEOEOrArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.