考研数学解题妙招集锦(四):可导性判别难题得分百分百与函数的可导性判别相关的题目在选择题中属常见考查题型。可导的定义同学们都知道,但是这一类题目却经常造成严重的失分状况,归根到底还是对定义的理解和掌握不够透彻,或者在函数极限运算方面不熟练。保证此类题目不丢分的秘诀就是:第一,严格依据可导的定义进行判断;第二,熟练准确进行函数极限运算。做到以上两点,所有这类看起来好像很难的题目均可在三分钟之类轻松破解:【例2.12】设(0)0f,则()fx在点0x可导的充要条件为(A)201lim(1cosh)hfh存在(B)01lim(1)hhfeh存在(C)201lim(sinh)hfhh存在(D)01lim[(2)()]hfhfhh存在【分析】当(0)0f时,()fx在点0x可导的充要条件是极限00()(0)()(0)limlim0xxfxffxfxx存在。因此四个答案中,关键是找出哪一个是与这个极限存在等价的。【详解】令1hex,则001()lim(1)limln(1)hhxfxxfehxx,可见若()fx在点0x可导,则极限0()limxfxx存在,而极限0limln(1)xxx存在且等于1,故01lim(1)hhfeh存在且等于(0)f;反过来,若01lim(1)hhfeh存在,则(1hex)0()limxfxx00(1)(1)limlim1hhhhhfehfeheh存在,即()fx在点0x可导。因此正确选项为(B)。至于(A),(C),(D)均为必要而非充分条件,可举反例说明。比如,()fxx,在0x处不可导,但2220001cosh11cosh1lim(1cosh)limlim2hhhfhhh223000sinh1sinhlim(sinh)limlim0hhhhhfhhhhh均存在,可排除(A),(C);又如1,0,()0,0.xfxx在0x处不可导,但00111lim[(2)()]lim0hhfhfhhh存在,进一步可排除(D)。【评注】1)某些常见的不可导函数,如()fxx在0x处不可导,应该熟练掌握,这是典型的反例。事实上,在高等数学中每一章节的常见范例均应该适当记忆。2)(A),(C),(D)也可由分析论证排除。例如对(A),如果()fx在点0x可导,即(0)f存在,则2220001(1cosh)(0)(1cosh)(0)1cosh11lim(1cosh)limlim(0)(0)1cosh22hhhfffffffhhh存在,故必要性成立。但是如果201lim(1cosh)hfh存在,记1coshu,则当0h时,恒有0u,而不是0u,因此,由201lim(1cosh)hfh存在只能推出右导数0()(0)(0)lim0xfxffx存在,而不能推出(0)f存在,即充分性不成立。(C),(D)可作类似讨论得出其为必要而非充分条件。一元函数的导数与微分看似简单,然而做题的时候稍不留神就会陷入出题人设置的“陷阱”当中。避免在此处丢冤枉分的一条重要法则就是透彻理解定义、计算细致准确。首先认真梳理教材上关于基本定义、性质及几何意义等多方面内容的讲述,带着自己的深入思考与理解认真研究《考研数学高等数学过关与提高(上)》中“导数与微分”一章中对此部分疑点、难点的解析,熟记老师在书中总结的重要公式与结论,定能彻底攻克这一部分的各类题型,做到得分百分百!