考研数学重难点笔记

1数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射§1.集合§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例§6.函数方程的近似求解2本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（§1—§3）§1.定积分的概念和可积条件§2.定积分的基本性质§3.微积分基本定理第七章定积分（§4—§6）§4.定积分在几何中的应用§5.微积分实际应用举例§6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分§1.反常积分的概念和计算§2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数§1.数项级数的收敛性§2.上级限与下极限§3.正项级数§4.任意项级数§5.无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数§1.函数项级数的一致收敛性§2.一致收敛级数的判别与性质§3.幂级数§4.函数的幂级数展开3§5.用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十一章Euclid空间上的极限和连续§1.Euclid空间上的基本定理§2.多元连续函数§3.连续函数的性质本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。第十二章多元函数的微分学（§1—§5）§1.偏导数与全微分§2.多元复合函数的求导法则§3.Taylor公式§4.隐函数§5.偏导数在几何中的应用第十二章多元函数的微分学（§6—§7）§6.无条件极值§7.条件极值问题与Lagrange乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。第十三章重积分§1.有界闭区域上的重积分§2.重积分的性质与计算§3.重积分的变量代换§4.反常重积分§5.微分形式本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。第十四章曲线积分与曲面积分§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分§3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式§4.微分形式的外微分4§5.场论初步本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green公式，Gauss公式和Stokes公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。第十五章含参变量积分§1.含参变量的常义积分§2.含参变量的反常积分§3.Euler积分本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler积分的计算。第十六章Fourier级数§1.函数的Fourier级数展开§2.Fourier级数的收敛判别法§3.Fourier级数的性质§4.Fourier变换和Fourier积分§5.快速Fourier变换本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对Fourier变换与Fourier积分有一个初步的了解。第二部分（1）课程名称：微分几何（2）基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。5基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。二、讲授纲要第一章三维欧氏空间的曲线论§1曲线曲线的切向量弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。§2主法向量与从法向量曲率与扰率教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。§3Frenet标架Frenet公式教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。§4曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。§5曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。§6平面曲线的一些整体性质6．1关于闭曲线的一些概念6．2切线的旋转指标定理6．3凸曲线*6．4等周不等式*6．5四顶点定理*6．6Cauchy-Crofton公式*教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式。§7空间曲线的整体性质67．1球面的Crofton公式*7．2Fenchel定理*7．3Fary-Milnor定理*教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何§1曲面的表示切向量法向量1．1曲面的定义1．2切向量切平面1．3法向量1．4曲面的参数表示1．5例1．6单参数曲面族平面族的包络面可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。§2曲面的第一、第二基本形式2．1曲面的第一基本形式2．2曲面的正交参数曲线网2．3等距对应曲面的内蕴几何2．4共形对应2．5曲面的第二基本形式教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。§3曲面上的活动标架曲面的基本公式3．1省略和式记号的约定3．2曲面上的活动标架曲面的基本公式3．3Weingarten变换W3．4曲面的共轭方向渐近方向渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。7§4曲面上的曲率4．1曲面上曲线的法曲率4．2主方向主曲率4．3Dupin标线4．4曲率线4．5主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率4．6曲率线网4．7曲面在一点的邻近处的形状4．8Gauss映照及第三基本形式4．9总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。§5曲面的基本方程及曲面论的基本定理5．1曲面的基本方程5．2曲面论的基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。§6测地曲率测地线6．1测地曲率向量测地曲率6．2计算测地曲率的Liouville公式6．3测地线6．4法坐标系测地极坐标系测地坐标系6．5应用6．6测地扰率6．7Gauss-Bonnet公式教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。§7曲面上的向量的平行移动7．1向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分87．2绝对微分的性质7．3自平行曲线7．4向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示7．5沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。第三部分1.高等代数基本定理设K为数域。以][xK表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果)0(],[......)(0110axKaxaxaxfnnn，则称n为)(xf的次数，记为)(degxf。定理（高等代数基本定理）C][x的任一元素在C中必有零点。命题设)10(,......)(0110naaxaxaxfnnn，是C上一个n次多项式，a是一个复数。则存在C上首项系数为0a的1n次多项式)(xq，使得)())(()(afaxxqxf证明对n作数学归纳法。推论0x为)(xf的零点，当且仅当)(0xx为)(xf的因式（其中1)(degxf）。命题（高等代数基本定理的等价命题）设nnnaxaxaxf......)(110)10(0na，为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数naaa,......,,21，使))......()(()(210nxxxaxf证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式0......1110nnnnaxaxax