考研数学高数5定积分

第五讲：定积分定积分的概念：设baxf,在上有界1）任意分割：.,2,1nixi2）作乘积：任取iiixx,1，作乘积iixf).(3）作和式：iniixf.14）取极限：iniixf.lim10若不管ba,如何分割，i如何选取，当0max1invx时，上述极限如果存在，则称xf在ba,上是可积的，并称此极限值为baxf,在上的定积分，记为0()lim.nbiiaifxdxfx我们规定：bbbaaafxdxfuduftdt0aafxdxabbafxdxfxdx函数可积的条件：充分条件：若baxf,在满足下列条件之一，则baxf,在上可积：1、baxf,在上连续；2、只有有限个间断点的有界函数3、单调函数必要条件：若baxf,在上可积，则在ba,上一定有界。定积分的几何意义：设baxf,在上可积（1）若0xf，则;Adxxfba（2）若0xf，则;Adxxfba（3）若xf有正有负，则;321AAAdxxfba例：1、用定义计算积分dxx210;2、利用定积分表示下列和式的极限：（1）ninnin111lim（2）021lim1pnnppppn3、利用几何意义求积分,)2(;)1()1(2220dxxadxxaba4、比较大小：21211ln(ln)eeIxdxIxdx定积分的性质：设xgxf,在所讨论的区间上都是可积的，则有性质1（线性性）为常数dxxgdxxfdxxgxfbababa推论：dxxgdxxfdxxgxfdxxfAdxxAfbababababa性质2（区间可加性）都成立或或注：不论baccbabcadxxfdxxfdxxfbccaba性质3（保号性）若0,0dxxfbaxfba则有且性质4（保不等式性）若dxxgdxxfbxaxgxfbaba则有,性质5（绝对可积性及绝对值不等式）badxxfdxxfbaba性质6（估值不等式）则有上的最小值和最大值，在分别为和即baxfMmbxaMxfm,,abMdxxfabmba积分中值定理：若ƒ(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使abfdxxfba微积分基本定理：变上限积分函数：设ƒ(x)在[a，b]上可积，则对于每一个x[a，b]，定积分dttfxa都有唯一确定的值与之对应，由此可以定义函数：dttfxFxa这是一个定义在[a，b]上的函数，称为积分变上限函数。注:dttfxa中x是积分上限变量,在[a，b]上变化;t是积分变量,在[a，x]上变化。变上限积分函数求导定理：若ƒ(x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定可导，且有xfdttfdxddxxdFxa注1.F(x)也一定连续.2.F(x)是ƒ(x)在上的一个原函数.3.此定理也证明了连续的原函数一定存在.例：求2200220sinlimln(1)xxxtdtttdt牛顿-莱布尼兹公式：若ƒ(x)在[a,b]上连续，Ф（x）是ƒ(x)的任意一个原函数，则有baDefbaxabdxxf)(说明：dxxfba等于ƒ(x)的任一个原函数在[a，b]上的增量例：dxxxx113322401dxx2cos120,1,21,1,1,220xxxxxfdxxf定积分的换元积分法与分部积分法第一类换元积分法（凑微分法）：（不定积分）cxdxfdxxxfdxxg)]([)([)(')]([)(（定积分）babababaxFxdxfdxxxfdxxg|)]([)]([)]([)(')]([)(例：1211212142022020222eexdedxxexxx第二类还原积分：（不定积分）CtFdtttfdttdxtxdxxf易积出令'其中：()xt具有连续的导数()t（定积分）1..''tFdtttfdttdxtxdxxfba令其中：（1）()a，()b，（2）()xt具有连续的导数()t，且()()atbt与不定积分类似，常用：nntbaxbaxtaxaxtaxaxtaxxa令令令令,tan,sec,sin,222222例：计算下列定积分：0220adxxaadxxx32211dxex12ln0xdxxarctan10换元积分法：（不定积分）xduxvxvxuxdvxu.（定积分）bababaxduxvxvxuxdvxu|条件：(),()uuxvvx在[a，b]上具有连续导数例：计算：xdxxarctan1020cosxxxdx其他结论：一、设()fx在[,]aa上可积，则有：20aaaafxfxdxfxdxfx是偶函数是奇函数二、设()fx是一个以Ｔ为周期的可积函数，则有dxxfdxxfTTaa0例：dxxxx2221211arcsintdtt220cossin1函数()fx在[0,1]上有定义，且单调不增，证明：对于任何(0,1)a有100()()afxdxafxdx.设0,a函数()fx在[0,]a上连续可微，证明：001(0)()().aaffxdxfxdxa设()fx在区间[,]ab上连续且单增，求证：()().2bbaaabxfxdxfxdx