复变函数读书报告

复变函数读书报告、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。关键词：复变函数;积分变换;电工程及其自动化;应用《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容,一是复变函数的相关知识,二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。在电气工程及其自动化专业中,对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理;对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。一、拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用互感在工程中应用极其广泛,因此对互感电路进行分析非常必要.常见的基本分析方法有时域分析法、频域分析法、复频域分析法.由于互感电路本身的复杂性,采用时域或频域进行分析都很繁琐.本文从复频域角度,首先对互感元件进行s域变换,然后对互感电路进行复频域分析.（1）拉普拉斯变换对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难.例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t=0+时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大.拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一[1-4].在傅立叶变换中,引入衰减因子e-σt(σ为实常数),根据不同信号的特征,适当选取σ的值,使乘积信号f(t)e-σt当t→±∞时信号幅度趋近于0,从而使f(t)e-σt的定义式积分收敛.∞-∞∫f(t)e-σte-jωtdt=f(t)e-(σ+jω)tdt(1)其积分结果为s(s=σ+ωj)的函数,则F(s)=f(t)e-stdt即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对.引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能解决的零初始状态下的系统响应也可迎刃而解.（2）电路的s域模型分析电路的基本依据是基尔霍夫定律(KCL和KVL)和元件端电压与其电流的约束关系.在时域分析中,利用微分方程研究电路,当电路的网络结构复杂(支路和节点较多)时利用微分方程显得相当繁琐.为简化分析过程,可先对电路进行s域变换,再把变换后的电压与电流用KVL和KCL联系起来.2.1s域元件模型[1-2]R、L、C元件的s域关系为VR(s)=RIR(s),VL(s)=sLiL(s)-LiL(0),VC(s)=1/sCIC(s)+1/svC(0).其中sL,1/sC,因具有阻抗的量纲,称为电感和电容的等效阻抗.LiL(0),1/svC(0)是由初始条件引起的附加电源.R、L、C元件的s域模型,可用电压源与等效阻抗的串联表示,如图1所示.图1R、L、C元件的s域模型也可以用电流源与等效阻抗的并联表示,如图2所示.图2R、L、C元件的s域模型2.2互感元件的s域模型互感元件时域模型如图3所示,其时域关系为u1(t)=L1*di1(t)/dt+M*di2(t)/dt,u2(t)=L2*di2(t)/dt+M*di1(t)/dt.对以上两式两边进行拉普拉斯变换可得到其s域关系.V1(s)=L1[sI1(s)-i1(0-)]+M[sI2(s)-i2(0-)],V2(s)=L2[sI2(s)-i2(0-)]+M[sI1(s)-i1(0-)].互感元件s域模型如图4所示.也可以用互感化除后的电路,其s域模型如下图5所示.图5互感化除后互感元件s域模型2.3电路定理的推广时域中的KCL定理为Σi(t)=0,变换到s域为ΣI(s)=0;时域中的KVL定理为ΣV(t)=0,变换到s域为ΣV(s)=0;在线性稳态电路中各种分析方法在进行s域分析时均适用.(3)利用元件s域模型求响应根据上面的讨论,我们可以求图6所示电路开关闭合后的电流i1(t).当t≥0时该电路的s域等效电路图如图7所示.当t0时,i1(t)=i2(t)=0A,即i1(0-)=i2(0-)=0A.由图7即可根据KVL定理,求出I1(s)=0.1s+1/(s(0.75×10-2s2+0.2s+1),可求出其逆变换:i1(t)=0.5(e-6.67t-e-20t)A.在互感电路分析中,动态元件(如L、C)的电压和电流间的约束关系是电压或电流变量间的导数或微分,所以基于这种约束关系的关系式一般是以时间t为自变量的高阶微分方程,对其求解相当困难.但利用s域的代数方程式,即可方便地对网络进行分析求解;另外,拉普拉斯变换将电压和电流变量的初始值自动引入到代数方程式,而不必像时域分析时对初始条件要单独考虑.可见,拉普拉斯变换亦是分析复杂动态电路的有效工具.二、描述线性系统的微分方程一个物理系统,如果可以用常系数线性微分方程来描述,那么这个物理系统称为线性系统.例如,在RC串联电路中(如图1),电容器的输出端电压Uc(t)与R、C及输入端电压e(t)之间的关系可以用微分方程RCdu/dt=e（t）来描述,它就是一个线性系统。图1对于自动控制专业中的许多物理系统不仅可以用微分方程来描述,而且可以用拉普拉斯变换求解。例1:如图2所示的机械系统最初是静止的,受一冲击力f(t)=A!(t)的作用使系统开始运动,求由此而产生的振动。解:设系统振动规律为x=x(t),且当t=0时,x(0)=x'(0)=0,冲击力f(t)=Aδ(t),弹性恢复力为-kx(x为弹性阻尼系数)。根据牛顿第二定律,有mx''(t)=Aδ(t)-kx(t)即mx''(t)+kx(t)=Aδ(t)设L[x(t)]=X(s),对方程两边取拉普拉斯变换,可得ms2X(s)+kX(s)=A于是取拉普拉斯逆变换,得因此,此振动规律是振幅为,角频率为的简谐振动。线性系统的传递函数线性系统的两个主要概念是激励与响应,通常称输入函数为系统的激励,而称输出函数为系统的响应(见图3)。图三如在RC串联电路中,输入端电压e(x)为该系统的激励,电容器的输出端电压uc(t)为该系统的响应。要研究激励与响应同系统本身特性之间的关系,这就需要有描述系统本性特征的函数———传递函数。凡是可用一阶微分方程描述的系统,称为一阶系统。其标准形式的微分方程为a1y'+a0y=f(t)。在零初始条件下对其进行拉普拉斯变换,可以求得一阶线性系统的传递函数为。显然,在同一形式的输入信号作用下,尽管这些系统的输出信号是各不相同的物理量,但是它们的输出信号的形式是相同的。正因为如此,系统的理论分析才具有普遍意义。例如:在RC串联电路中,其传递函数为G(s)=1/(RCs+1)。因此,学生想要学好专业课,《复变函数与积分变换》课程显然是必不可少的。只有学好《复变函数与积分变换》,学生在学习专业课中才能轻松自如地掌握相关知识,并运用于实践.三、动态过程的复频域分析(1)、要在复频域中解决电路问题，必须把时域电路定律和时域电路元件通过拉普拉斯变换（Laplacetransform）变换成复频域中的电路定律与复频域中的电路元件模型．基尔霍夫电流定律(kcl)()=i1(t)+i2(t)+…+in(t)=0对klc进行Laplacetransform，L{i1(t)+i2(t)+…+in(t)}=0.根据Laplacetransform性质可写成，L[i1(t)]+L[i2(t)]+…+L[in(t)]=0．设电流的象函数分别为I1(s)=L[i(t)]I2(s)=L[i(t)]In(s)=L[in(t)]基尔霍夫电流定律的复频域形式I11(s)+I2(s)+In(s)==0同理基尔霍夫电压定律的复频域形式为U11(s)+U2(s)+Un(s)==0电阻元件上电压和电流间遵循欧姆定律（见图1a），U(t)=Ri(t)．取其Laplacetransform，设U(s)=L[U(t)]，I(s)=L[i(t)]，得U(s)=RI(s)，其复频域模型（见图1b）与时域模型具有相同的形式．电感元件上电流和电压间的关系为Ul(t)=Ldi/dt（见图2a）的拉普拉斯变换，并利用微分性质得UL（s）=sLI（s）−Li（0-），其复频域模型见图2b，模型中SL称为运算感抗；()Li0−称为附加电压源，反映自感内原始储能对动态过程的影响．(2)、图3的电压源复频域模型也可以用电流源形式来表示．（3）特殊一阶电路动态过程的复频域分析具备2个同类型储能元件（２个电容或２个电感）的一阶电路，在换路前后会出现不符合换路定律的情况，这是由于换路定律本身的局限性所造成的．换句话说，就是电容电压或电感电流要产生跃变，这样的电路称为特殊一阶电路．例1图4所示电路中，U=10V，c1=1µF，C2=2µF，R=1KΩ．开关动作前电路已处于稳态，电容C2的电压Uc2（0-）=0，求开关闭合后，电容电压Uc．解Uc1（0-）=U=10V，UC2(0-)=0．开关闭合后，作出其复频域模型（见图5），在复频域中应用节点电位法得通过例解可以看出，对特殊一阶电路利用复频域分析法可以解决换路定律和基尔霍夫定律之间的矛盾，对二阶电路的动态过程分析虽然没有经典解法的物理意义清晰，但是在解法上却可以把微积分运算转换为代数方程运算，使运算分析简化，特别是对二阶以上的电路复频域分析法还是可取的．结束语：从以上的问题解决中可以看出，用“复变函数与积分变换”中知识求解线性微分、积分方程及其方程组的解时，有如下的优点：（1）在求解的过程中，初始条件也同时用上了，求出的结果就是需要的特解。这样就避免了微分方程的一般解法中，先求通解再求特解再根据初始条件确定任意常数求出特解的复杂运算。（2）零初始条件在电路分析中是十分常见的，由第一个有点可知，用“复变函数与积分变换”中的拉普拉斯变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何简化。（3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当其次项不是连续连续函数时，用拉普拉斯变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困得多。（4）用“复变函数与积分变换”中的拉普拉斯变换求解线性微分、积分方程组时，不仅比微分方程组的一般解法简单得多，而且还可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组一般解法中通常是不可能的。用“复变函数与积分变换”中的拉普拉斯变换方法求解的步骤明确、规范，便于在电气技术中应用，而且有现成的拉普拉斯变换表，可直接获的象原函数（即方程的解）。另外我们经常讨论的用来处理各种输入信号的线性定常系统的规律也可以用“复变函数与积分变换”中的方法来描述,如电路方程,微分方程,硬件系统的传递函数(网络函数)等.以上的这些优点使着“复变函数与积分变换”在电气工程及其自动化专业中有着广泛的应用。参考文献：【1】动态过程的复频域分析：高师理科学刊第三十卷第四期2010年7月【2】拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用：南阳师范学院学报第七卷第六期2008年6月【3】复变函数与积分变换（第四版）：高等教育出版社1996年5月【4】复变函数与积分变换在自动控制专业中的应用：唐山理科教育部【5】电力系统静态稳定性的复频域分析：内蒙古电力技术2003年底21卷第五期